Решение примеров со степенями с разными основаниями. Правила умножения степеней с разным основанием
РОЛЬ КОЖИ В ТЕРМОРЕГУЛЯЦИИ ОРГАНИЗМА
У р о к 54
Ц е л и: определить роль кожи в терморегуляции; условия
сохранения постоянной температуры тела человека. Рассмотреть
физиологическую роль повышения температуры тела при заболеваниях;
причины нарушения терморегуляции и правила оказания первой
помощи. Формировать умения: разъяснять механизм терморегуляции;
оказывать первую помощь при нарушении терморегуляции;
самостоятельно работать с учебником и научнопопулярной
литературой;
логически мыслить и оформлять результаты
мыслительных операций в устной и письменной форме.
О б о р у д о в а н и е: таблица «Кожа».
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
А н а л и з р и с у н к а и т а б л и ц ы «Кожа. Ее строение и функции».
Слои,
образующие кожу
1
Верхний наружный
(эпителиальный)
Внутренний
(собственно кожа)
Особенности строения
2
Поверхностный (роговой)
слой из плотно
прилегающих друг к другу
погибших клеток. Клетки
постоянно слущиваются и
заменяются новыми. Более
глубокие слои образованы
живыми клетками.
В них находится пигмент
Образован соединительной
тканью, много
эластических волокон
Рецепторы
Функции
3
Защитная от внешних
воздействий, от
проникновения инфекции.
Защитная от
ультрафиолетовых лучей
Придает коже упругость,
она легко растягивается
при движении
Воспринимают холод,
тепло, прикосновение,
боль
1
2
Кровеносные сосуды
Потовые железы
Сальные железы
Волосы на теле развиты
слабо, обильнее на голове
Окончание табл.
3
Питают клетки кожи,
участвуют в
терморегуляции
Выделительная функция и
терморегуляция
Предохраняют кожу от
высыхания
Защита от воздействий
лучей солнца
III. Изучение нового материала.
1. В с т у п и т е л ь н о е с л о в о у ч и т е л я.
Три четверти тепла, вырабатываемого телом, теряется через кожу.
Задержка всего тепла хотя бы на один день вызвала бы смерть.
Образование тепла зависит от обмена веществ. Как у человека, так и
у большинства теплокровных животных зимой и летом количество тепла
в организме одинаково. Меняются внешние условия, а температура тела
остается постоянной. Значит, в разное время идет разная теплоотдача.
Она зависит от температуры воздуха, его влажности и движения.
Человек легко может переносить жару и холод, хотя температура –
30 С или +43 С губительна для изолированных из организма органов.
Постоянство температуры нашего организма обеспечивается за счет
регуляции теплоотдачи.
Человек все время выделят тепло, и даже во сне он в среднем
расходует за час 4,2 кДж на 1 кг массы тела. За сутки человек выделяет
столько тепла, что его хватит, чтобы довести до кипения 33 л ледяной
воды.
Установлено, что температура воздуха над головой человека выше на
1–1,5 С окружающего воздуха. Высота своеобразного теплового
факела достигает 30–40 см от темени. Теплый воздух изпод одежды
выходит наружу у воротника. Над головой создается тепловой конус,
точно воздушный капюшон.
2. У ч а щ и е с я с а м о с т о я т е л ь н о з н а к о м я т с я с текстом
учебника на с. 209–210.
3. О б с у ж д е н и е п р о ч и т а н н о г о (под руководством учителя с
использованием вопросов рубрики «Проверьте свои знания» на с. 211
учебника).
– Что такое терморегуляция?
(Терморегуляция – это способность организма поддерживать
постоянную температуру тела в условиях изменяющейся внешней
среды.
Или:
Терморегуляция – это уравновешивание процессов образования и
отдачи тепла в организме.)
– Почему терморегуляция необходима организму?
(Терморегуляция обеспечивает постоянную температуру тела в
рамках от 36,5 до 36,9 С, что очень важно для функционирования
белков и других органических веществ. Человек может переносить
лишь незначительные колебания температуры тела. Ее повышение
выше 43 С и падение ниже 25 С, как правило, смертельны.)
– Каковы механизмы терморегуляции?
(Терморегуляция осуществляется благодаря изменению просвета
сосудов и потоотделению.)
– Какова температура тела человека?
(Температура на поверхности кожи здорового человека
составляет 36,6 С.)
– Как изменяется просвет кровеносных сосудов при изменении
температуры воздуха?
(Когда температура окружающей среды становится высокой,
кровеносные сосуды кожи расширяются, через них протекает
больше крови, кожа нагревается, отдача тепла в окружающую
среду увеличивается. Если же температура окружающего воздуха
падает, организм стремится сохранить тепло. Просветы
кровеносных сосудов суживаются, отдача тепла уменьшается.)
– Какую роль играет кожа в процессе терморегуляции?
(Кожа – орган терморегуляции. Терморегуляция осуществляется
благодаря изменению просвета сосудов, расположенных в коже, и
потоотделению с помощью потовых желез, сосредоточенных тоже
в коже.)
4.
Р а с с к а з у ч и т е л я о влиянии нервной системы на
теплорегуляцию.
Изменение просвета сосудов, а также увеличение и уменьшение
потоотделения происходит рефлекторно.
Если температура окружающей среды повышается, происходит
раздражение рецепторов кожи, чувствительных к теплу. Возникшее в
них возбуждение проводится центростремительными нервами в
центральную нервную систему. Здесь возбуждение переходит на
центробежные нервы сосудов и потовых желез кожи.
Сосуды под влиянием пришедшего к ним возбуждения расширяются,
а потовые железы усиливают свою работу. Следствием этого является
увеличение теплоотдачи.
При охлаждении организма раздражаются рецепторы,
воспринимающие холод. Возникшее в них возбуждение передается через
центральную нервную систему на сосуды, вызывая их сужение, и в
потовые железы, деятельность которых от этого понижается. В
результате происходит уменьшение теплоотдачи.
Рассмотренные рефлексы являются безусловными. В течение жизни
образуется целый ряд условных рефлексов на раздражители, которые
постоянно предшествуют действию на организм холода или тепла. Так,
например, приготовления к утренним обливаниям или обтираниям тела
являются условным раздражителем, вызывающим сужение кровеносных
сосудов кожи еще до соприкосновения тела с холодной водой. У людей,
работающих в горячих цехах, вид заводского двора служит условным
раздражителем, вызывающим расширение сосудов и усиление
потоотделения до начала работы.
Значение условных рефлексов совершенно очевидно: они
подготавливают организм к действию на него безусловного
раздражителя (холода или тепла). Способность организма образовывать
условные рефлексы сильно увеличивает возможность его
приспособления к постоянно меняющимся условиям среды.
5. С а м о с т о я т е л ь н о е и з у ч е н и е у ч а щ и м и с я в о п р о с а
«Повышение температуры тела при заболеваниях» на с. 210 учебника и
последующая б е с е д а п о в о п р о с а м.
– Почему во время многих болезней температура тела повышается?
(При проникновении инфекции в организм наряду с защитными
веществами образуются особые пирогенные (теплорождающие)
вещества. Они действуют на нервные центры теплорегуляции.
Реакция нервной системы на пирогенные вещества приводит к
повышению температуры и является показателем благоприятного
течения болезни. Это отражение активной борьбы организма с
инфекцией, его естественная реакция.)
– Что дает повышенная температура больному организму?
(Повышенная температура ускоряет химические процессы,
увеличивает обмен веществ в тканях, повышает активность
лейкоцитов, печени, гипофиза – так мобилизуются защитные силы
организма.)
– Почему же в таком случае применяют жаропонижающие средства?
(Стойкая высокая температура создает большую нагрузку на
сердце, у больного учащается пульс, слабеет весь организм.
Переносить такое состояние долгое время больной обычно не
может. Но подавление высокой температуры осложняет
инфекционный процесс, поэтому нужно не просто снизить
температуру лекарством, а воздействовать на основную причину
болезни.)
6. Р а с с к а з у ч и т е л я об оказании первой помощи при тепловом и
солнечном ударе.
При перегревании на солнце в безветренную погоду, особенно в
атмосфере, насыщенной парами, при физической работе в душных,
плохо проветриваемых помещениях или в плохо пропускающей воздух
одежде отдача организмом тепла затрудняется.
Нарушение равновесия между образованием и отдачей тепла может
стать причиной теплового удара. Появляются головная боль, одышка,
головокружение, шум в ушах, слабость, учащается пульс, мелькают
«мушки» перед глазами. Человек бледнеет и может потерять сознание.
При тепловом ударе пострадавшего нужно перенести в прохладное
место, раздеть его или расстегнуть одежду, на голову положить
смоченное холодной водой полотенце, а ноги приподнять с помощью
валика из одежды. Если больной не потерял сознание, ему дают выпить
прохладной воды. Для снижения температуры тела пострадавшего
оборачивают мокрой простыней или одеждой и обмахивают его, чтобы
создать движение воздуха и усилить испарение.
Если у пострадавшего остановилось дыхание и пульс не
прощупывается, необходимо сделать искусственное дыхание и
непрямой массаж сердца.
Для предупреждения солнечного удара надо летом прикрывать
голову. Признаки солнечного удара примерно такие же, как и
теплового. Одинаковы и меры первой помощи пострадавшему.
Задание на дом: изучить текст учебника на с. 209–211; выполнить в
рабочей тетради задания 185–186; желающие готовят сообщения на
темы «Гигиена кожи», «Закаливание организма».
Кобзева Ирина Валерьевна
Тема урока: Роль кожи в терморегуляции.
Цель: сформировать понятие "терморегуляция", выделить причины, влияющие на потоотделение.
Задачи:
1. Раскрыть роль кожи в регуляции температуры тела.
2. Уметь использовать личный опыт при установлении зависимости теплоотдачи от условий окружающей среды.
3. Развивать навыки самостоятельной работы с текстом учебника для получения необходимой информации.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Постановка проблемной ситуации.
3. "Открытие" темы урока, постановка цели и задач урока.
4. Эксперимент.
5. Изучение нового материала.
6. Закрепление.
Ход урока.
Проверка д/з
Слайд № 1. Вопросы:
1) По какому принципу разделены на две группы эти животные? (Карась, лягушка, змея, ящерица, заяц)
2) К какой из этих групп относится человек?
Слайд №2. А теперь представьте, что мы оказались в Италии XV века. В роскошном замке миланского герцога Моро идет великолепный праздник, идею которого придумал великий Леонардо да Винчи. Он задумал восславить золотой век мира, который наступил после многих лет железного века опустошительных войн.
Для изображения железного века кузнецы под наблюдением Леонардо да Винчи сделали огромную фигуру лежащего рыцаря, закованного в латы. А золотой век должен был изображать голый мальчик, с ног до головы покрытый золотой краской. Это был сын бедного пекаря. Отец за деньги предоставил его для увеселения герцога.
В разгар праздничного веселья в зал ввезли поверженного рыцаря. Из его чрева вышел « золотой мальчик» с крыльями и лавровой ветвью в руке. Испуганно он смотрел на окружающих, произнося заученное приветствие герцогу.
После праздника о нем все забыли. И только на следующий день Леонардо да Винчи обнаружил малыша в темном углу холодного зала. Он плакал и дрожал от холода. Через несколько дней мальчик умер.
Вопрос: В чем причина гибели "золотого мальчика"?
Версии, которые предлагают ребята, можно записать на доске.
Учитель: Вы догадались, что темой нашего урока является одна из функций кожи: терморегуляция.
Совместно с учащимися формулируется тема урока, цель, задачи.
Долгое время никто не мог объяснить причину гибели ребенка. Предполагали, что золотая краска нарушила потоотделение, поступление в организм воздуха. Только значительно позже, в XIX веке, установили, что причина связана с нарушением терморегуляции.
III . Изучение нового материала.
Кожа – орган терморегуляции.
Реакция кожи на температуру окружающей среды (рассказ учителя).
Причины, влияющие на потоотделение (рассказ с элементами беседы, исследование).
С точки зрения физики человек всего лишь физическое тело и с ним, казалось бы, должны происходить процессы, такие же как с любыми физическими телами. Температура тела человека 36,6С, а в классе – 24С. Человек должен отдавать часть внутренней энергии окружающему воздуху, пока температура не станет одинаковой. Но разве это так? (нет)
Что нового мы должны узнать по этой теме? Давайте сформулируем цели нашего урока (учащиеся формулируют цели, а учитель их конкретизирует)
Объяснить, почему температура нашего тела остается постоянной.
Чтобы ответить на этот вопрос мы должны вспомнить строение кожи. (слайд 3)
В теле человека за 1 час образуется столько тепла, сколько нужно, чтобы вскипятить 1 л ледяной воды. Во время тяжелой физической работы образование тепла увеличивается в несколько раз. И все же температура тела не меняется.
Вопрос:
Как вы думаете, почему температура тела остаётся постоянной?
Предполагаемый ответ:
Температура тела не меняется, потому что организм отдаёт тепло.
Постоянство температуры тела поддерживается путем регуляции отдачи тепла организмом. И эта роль принадлежит нашей коже, т. к. этот орган непосредственно контактирует с внешней средой и, следовательно, регистрирует изменение ее температуры.
1.Что такое терморегуляция? (Это способность организма поддерживать постоянную температуру тела в условиях изменяющейся внешней среды; или это уравновешивание процессов образования и отдачи тепла в организме).
2. Почему терморегуляция необходима организму? (Терморегуляция обеспечивает постоянную температуру тела в рамках от 36,5ºС до 36,9ºС, что очень важно для функционирования белков и других органических веществ. Человек может переносить лишь незначительные колебания температуры тела. Ее повышение выше 43ºС и падение ниже 25ºС, как правило, смертельно).
3. Каковы механизмы терморегуляции? (Терморегуляция осуществляется благодаря изменению просвета сосудов и потоотделению).
Чтобы тело отдало тепло окружающей среде, образуемое им тепло должно «иметь доступ» к внешней среде. Тепло из глубины тела перемещается кровью к коже, откуда может перейти в окружающую среду. Процессы терморегуляции зависят от количества протекающей через кожу крови.
А вот как зависит, мы проверим, проведя лабораторную работу «Нарушение кровообращения при наложении перетяжки».
У вас на столах лежат все необходимые материалы для ее проведения и инструкция (приложение1) Почему понижается температура изолированных перетяжкой пальцев? Кожа человека обильно снабжена кровеносными сосудами. Многие капилляры образуют петли, позволяющие менять количество крови, протекающие через кожные капилляры. При сужении этих сосудов уменьшается теплоотдача. При их расширении выделение тепла увеличивается.
Образование и отдача тепла регулируется рефлекторно и гуморально. Существует центр терморегуляции, расположенный в гипоталамусе (промежуточный мозг). Считается, что в его передней части располагаются центры, регулирующие теплоотдачу, а в области заднего гипоталамуса локализованы центры, контролирующие процессы продукции и сохранения тепла. Видео.
Температура окружающей среды и ее колебания действуют на терморецепторы кожи. Подсчитано, что на 1 см2 приходится 12 холодовых, 1-2 тепловых рецепторов. А вся кожная поверхность тела человека содержит 250 тыс. холодовых рецепторов и только 30 тыс. тепловых.
Расширение сосудов может происходить под влиянием некоторых факторов внешней среды, например, раздражающее действие, может оказать нанесение на кожу различных веществ (золотой краски), содержание алкоголя в крови и т.д.
Снова обсуждается гибель "золотого мальчика", устанавливается причина. (Под действием раздражения сосуды кожи расширились, в зале было очень холодно, организм отдавал тепло и мальчик умер от переохлаждения).
Более 200 лет назад английский доктор Ч.Блэгден провел опыт: вместе с несколькими друзьями он провел 35 минут в сухой камере при температуре +126°С без последствий для здоровья. В то же время кусок мяса, взятый в камеру, оказался сваренным, а холодная вода под слоем масла закипела. (через кожу происходило потоотделение и охлаждение поверхности кожи).
Теплоотдача путем испарения пота происходит непрерывно в виде незаметной для нас испарины. Пот – водянистая жидкость, содержащая 0,1-0,4% хлористого натрия, лактата натрия и мочевины. Он образуется из тканевой жидкости.
У человека потоотделение начинается тогда, когда температура поднимается выше 36,70С. При нормальных условиях в сутки выделяется 900 мл но при очень сильной жаре и достаточном снабжении водой и солями эта величина может достигать 12л.
Сейчас вы проведете еще одну лабораторную работу «Выделительная и терморегуляторная функция кожи»
Цель: исследовать терморегуляторную и выделительную функцию кожи человека Вывод: Кожа человека выделяет воду, вместе с ней выделяется избыток солей. Испаряясь, влага охлаждает кожные покровы, тем самым участвуя в терморегуляции организма.
Ход работы:
Наденьте пакет на кисть руки и закрепите его в области запястья с помощью резинового кольца или шнурка. Записывайте наблюдения в течение 5-6 минут.
Пока протекает эксперимент, мы выполним следующее задание.
Задание: проанализируйте данные и определите зависимость теплоотдачи от условий окружающей среды. Заполните таблицу (видео) .
Условия среды
Препятствует отдаче тепла
Способствует отдаче тепла
1. Воздух сухой, его температура ниже
температуры тела.
2. Воздух насыщен парами воды, его температура низкая,
3. Воздух сухой, его температура выше температуры тела.
4. Воздух влажный и имеет высокую температуру.
Ответьте на следующие вопросы:
1. Почему повышается температура в пакете в ходе эксперимента? (происходит теплоотдача)
2. Почему повышается влажность в пакете? (происходит потоотделение).
3. Почему летняя одежда делается из натуральных, а не синтетических тканей?
4. Какое значение для организма имеет функция потоотделения?
Закрепление.
Что мы изучили сегодня на уроке?
А теперь давайте попробуем сформулировать основные выводы по данному уроку. 1) Какова роль кожи в терморегуляции? 2) В зависимости от характера реализации терморегуляторных механизмов различают две группы животных (теплокровных и холоднокровных). 3) Что такое Терморегуляция? (– это процесс уравновешивания теплообразования и теплоотдачи в соответствии с условиями внешней и внутренней среды). 4) К чему может привести Нарушение процессов терморегуляции (может привести к перегреванию или переохлаждению организма).
Д.З. Решите биологические задачи:
Действие алкоголя на организм вызывает расширение сосудов. Какой человек трезвый или пьяный, быстрее замерзнет на морозе?
Ноги в тесной обуви зимой замерзают. Объясните почему?
Зачем нужны степени?
Где они тебе пригодятся?
Почему тебе нужно тратить время на их изучение?
Чтобы узнать ВСЕ О СТЕПЕНЯХ, читай эту статью.
И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ЕГЭ.
И к поступлению в ВУЗ твоей мечты!
Let"s go... (Поехали!)
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Возведение в степень - это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.
Начнем со сложения.
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно - 16 бутылок.
Теперь умножение.
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения
. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…
Вот таблица умножения. Повторяй.
И другой, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно -возведение числа в степень .
Возведение числа в степень
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени - это. И решают такие задачки в уме - быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью - кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Пример из жизни №1
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат - это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат - это изображение второй степени числа.
Пример из жизни №2
Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска - это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?
Пример из жизни №3
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .
Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки - можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
Пример из жизни №4
У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты - умный! Итак, в первый год - два умножить на два… во второй год - то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени - миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
Пример из жизни №5
У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год - умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Термины и понятия... чтобы не запутаться
Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто - это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…
Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще - это то число, которое находится внизу, в основании.
Вот тебе рисунок для верности.
Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:
Степень числа с натуральным показателем
Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени - это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?
Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко - это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.
Всякие дроби - это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?
Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.
Резюме:
Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
- Любое число в первой степени равно самому себе:
- Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:
Определение.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.
Свойства степеней
Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.
Посмотрим: что такое и ?
По определению:
Сколько здесь множителей всего?
Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.
Но по определению это степень числа с показателем, то есть: , что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение:
Пример: Упростите выражение.
Решение:
Важно заметить, что в нашем правиле обязательно
должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
только для произведения степеней!
Ни в коем случае нельзя написать, что.
2. то и есть -ая степень числа
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать?
Но это неверно, ведь.
Степень с отрицательным основанием
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.
Но каким должно быть основание?
В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом . И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже.
Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на, получится.
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Справился?
Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.
Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост!
6 примеров для тренировки
Разбор решения 6 примеров
Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.
целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.
А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.
Любое число в нулевой степени равно единице :
Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?
Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:
Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.
Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:
Повторим правило:
Любое число в нулевой степени равно единице.
Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).
С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.
Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:
Отсюда уже несложно выразить искомое:
Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:
Итак, сформулируем правило:
Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).
Подведем итоги:
Задачи для самостоятельного решения:
Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:
Разбор задач для самостоятельного решения:
Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!
Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.
Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?
Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.
Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:
Возведем обе части уравнения в степень:
Теперь вспомним правило про «степень в степени» :
Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?
Эта формулировка - определение корня -ой степени.
Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.
То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .
Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .
Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:
Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.
Никакое!
Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!
А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.
А что насчет выражения?
Но тут возникает проблема.
Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.
И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.
Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).
Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .
Итак, если:
- — натуральное число;
- — целое число;
Примеры:
Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:
5 примеров для тренировки
Разбор 5 примеров для тренировки
Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .
Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением
Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.
Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;
...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;
...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.
Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))
Например:
Реши самостоятельно:
Разбор решений:
1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Определение степени
Степенью называется выражение вида: , где:
- — основание степени;
- — показатель степени.
Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}
Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
Возведение в нулевую степень :
Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.
Если показателем степени является целое отрицательное число:
(т.к. на делить нельзя).
Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.
Примеры:
Степень с рациональным показателем
- — натуральное число;
- — целое число;
Примеры:
Свойства степеней
Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.
Посмотрим: что такое и?
По определению:
Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:
Но по определению это степень числа с показателем, то есть:
Что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение : .
Пример : Упростите выражение.
Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !
Ни в коем случае нелья написать, что.
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Перегруппируем это произведение так:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.
Степень с отрицательным основанием.
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .
И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?
С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .
И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:
- четную степень, - число положительное .
- Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
- Положительное число в любой степени - число положительное.
- Ноль в любой степени равен нулю.
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Справился? Вот ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.
И снова используем определение степени:
Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:
Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.
Вычисли значения выражений:
Решения :
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Итак, теперь последнее правило:
Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:
Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:
Пример:
Степень с иррациональным показателем
В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)
Например:
Реши самостоятельно:
| 1) | 2) | 3) |
Ответы:
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Степенью называется выражение вида: , где:
Степень с целым показателем
степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
Степень с рациональным показателем
степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.
Степень с иррациональным показателем
степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.
Свойства степеней
Особенности степеней.
- Отрицательное число, возведенное в четную степень, - число положительное .
- Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
- Положительное число в любой степени - число положительное.
- Ноль в любой степени равен.
- Любое число в нулевой степени равно.
ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...
Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.
Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.
Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.
Напиши в комментариях.
И удачи на экзаменах!
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие - нет? Как число умножить на степень?
В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели - сложить:
При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней - учитывают:
При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом - умножение:
www.algebraclass.ru
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .
Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице
показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .
Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.
И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.
Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными
значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .
5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4
Ответ: t = 3 4 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
-
Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Степени и корни
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
(a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.
где a ≠ 0 , не существует.
В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0
— любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.
0 0 — любое число.
Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
Правила умножения степеней с разным основанием
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями
Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть
Доказательство. По определению степени
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.
Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п
(a =/= 0)
Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу
Если т > п , то число т - п будет натуральным; следовательно, по теореме 1
Теорема 2 доказана.
Следует обратить внимание на то, что формула
доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:
К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 - 2 .
Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним , то есть
Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:
что и требовалось доказать.
Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Устно.) Определить х из уравнений:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (У с т н о.) Упростить:
520. (У с т н о.) Упростить:
521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:
1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;
2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150 .
Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .
Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.
Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.
Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.
А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .
Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.
Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.
Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .
Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:
a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.
С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.
Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.
