Ипотека

Дайте определение степени с рациональным показателем. Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» содержит наглядный учебный материал для ведения урока по данной теме. В видеоуроке содержится информация о понятии степени с рациональным показателем, свойства, таких степеней, а также примеры, описывающие применение учебного материала для решения практических задач. Задача данного видеоурока - наглядно и понятно представить учебный материал, облегчить его освоение и запоминание учениками, формировать умение решать задачи с использованием изученных понятий.

Основные преимущества видеоурока - возможность производить наглядно преобразования и вычисления, возможность использования анимационных эффектов для улучшения эффективности обучения. Голосовое сопровождение помогает развивать правильную математическую речь, а также дает возможность заменить объяснение учителя, освобождая его для проведения индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с представления темы. Связывая изучения новой темы с ранее изученным материалом, предлагается вспомнить, что n √aиначе обозначается a 1/n для натурального n и положительного a. Данное представление корня n-степени отображается на экране. Далее предлагается рассмотреть, что значит выражение a m/n , в котором a - положительное число, а m/n - некоторая дробь. Дается выделенное в рамке определение степени с рациональным показателем как a m/n = n √a m . При этом отмечено, что n может быть натуральным числом, а m - целым.

После определения степени с рациональным показателем ее смысл раскрывается на примерах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Также демонстрируется пример, в котором степень, представленная десятичной дробью, преобразуется в обычную дробь, чтобы быть представленной в виде корня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицательным значением степени: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Отдельно указывается особенность частного случая, когда основание степени - нуль. Отмечено, что данная степень имеет смысл только с положительным дробным показателем. В этом случае ее значение равно нулю: 0 m/n =0.

Отмечена еще одна особенность степени с рациональным показателем - то, что степень с дробным показателем не может рассматриваться с дробным показателем. Приведены примеры некорректной записи степени: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Далее в видеоуроке рассматриваются свойства степени с рациональным показателем. Замечено, что свойства степени с целым показателем будут также справедливы и для степени с рациональным показателем. Предлагается вспомнить перечень свойств, которые также справедливы в данном случае:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: a p a q =a p+q .
Деление степеней с одинаковыми основаниями сводится к степени с данным основанием и разностью показателей степеней: a p:a q =a p-q .
Если возвести степень в некоторую степень, то в итоге получаем степень с данным основанием и произведением показателей: (a p) q =a pq .

Все данные свойства справедливы для степеней с рациональными показателями p, q и положительным основанием a>0. Также верными остаются преобразования степени при раскрытии скобок:

(ab) p =a p b p - возведение в некоторую степень с рациональным показателем произведения двух чисел сводится к произведению чисел, каждое из которых возведено в данную степень.
(a/b) p =a p /b p - возведение в степень с рациональным показателем дроби сводится к дроби, числитель и знаменатель которой возведены в данную степень.

В видеоуроке рассматривается решение примеров, в которых используются рассмотренные свойства степеней с рациональным показателем. В первом примере предлагается найти значение выражения, в котором содержатся переменные х в дробной степени: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Несмотря на сложность выражения, с применением свойств степеней оно решается достаточно просто. Решение задания начинается с упрощения выражения, в котором используется правило возведения степени с рациональным показателем в степень, а также перемножение степеней с одинаковым основанием. После подстановки заданного значения х=8 в упрощенное выражение х 1/3 +48, легко получить значение - 50.

Во втором примере требуется сократить дробь, числитель и знаменатель которой содержать степени с рациональным показателем. Используя свойства степени, выделяем из разности множитель х 1/3 , который затем сокращается в числителе и знаменателе, а используя формулу разности квадратов, на множители раскладывается числитель, что дает еще сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Итогом таких преобразований становится короткая дробь х 1/4 +3.

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» может быть использован вместо объяснения учителем новой темы урока. Также данное пособие содержит достаточно полную информацию для самостоятельного изучения учеником. Материал может быть полезен и при дистанционном обучении.

От целых показателей степени числа a напрашивается переход к рациональным показателем. Ниже мы определим степень с рациональным показателем, причем будем это делать так, чтобы сохранялись все свойства степени с целым показателем. Это необходимо, так как целые числа являются частью рациональных чисел.

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , гдеm – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили корень n-ой степени, то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данныхm , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателемm/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

1. Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условиеa≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

2. Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является сократимая обыкновенная дробь, считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для

o любого действительного числа a , целого положительного m и нечетного натурального n , например, ;

o любого отличного от нуля действительного числа a , целого отрицательного m и нечетного n , к примеру, ;

o любого неотрицательного числа a , целого положительного m и четного n , например, ;

o любого положительного a , целого отрицательного m и четного n , к примеру, ;

o в остальных случаях степень с дробным показателем не определяется, как например не определены степени .a записи мы не придаем никакого смысла, степень числа нуль мы определяем для положительных дробных показателей m/n как , для отрицательных дробных показателей степень числа нуль не определяем.

В заключение этого пункта обратим внимание на то, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, например, . Для вычисления значений выражений подобного вида нужно показатель степени записать в виде обыкновенной дроби, после чего воспользоваться определением степени с дробным показателем. Для указанных примеров имеем и

Степень с рациональным показателем

В множество рациональных чисел входят целые и дробные числа.

Определение 1

Степень числа $а$ с целым показателем $n$ является результатом умножения числа $а$ самого на себя $n$ раз, причем: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$; $a^n=\frac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}$, при $n

Определение 2

Степень числа $а$ с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ называется корнем $n$-ной степени из $a$ в степени $m$: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$, где $а>0$, $n$ – натуральное число, $m$ – целое число.

Определение 3

Степень нуля с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ определяется следующим образом: $0^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{0^m}=0$, где $m$ – целое число, $m>0$, $n$ – натуральное число.

Существует и другой подход к определению степени числа с дробный показателем, который показывает возможность существования степени отрицательного числа или отрицательного дробного показателя.

Например, выражения $\sqrt{(-3)^6}$, $\sqrt{(-3)^3}$ или $\sqrt{(-7)^{-10}}$ имеют смысл, таким образом, и выражения $(-3)^\frac{6}{7}$, $(-3)^\frac{3}{7}$ и $(-7)^\frac{-10}{6}$ должны иметь смысл, в то время, как согласно определению степени с показателем в виде дроби при отрицательном основании не существуют.

Дадим другое определение:

Степенью числа $a$ с дробным показателем $\frac{m}{n}$ называется $\sqrt[n]{a^m}$ в следующих случаях:

При любом действительном числе $a$, целом $m>0$ и нечетном натуральном $n$.

Например, $13,4^\frac{7}{3}=\sqrt{13,4^7}$, $(-11)^\frac{8}{5}=\sqrt{(-11)^8}$.

При любом отличном от нуля действительном числе $a$, целом отрицательном $m$ и нечетном $n$.

Например, $13,4^\frac{-7}{3}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $(-11)^\frac{-8}{5}=\sqrt{(-11)^{-8}}$.

При любом неотрицательном числе $a$, целом положительном $m$ и четном $n$.

Например, $13,4^\frac{7}{4}=\sqrt{13,4^7}$, $11^\frac{3}{16}=\sqrt{11^3}$.

При любом положительном $a$, целом отрицательном $m$ и четном $n$.

Например, $13,4^\frac{-7}{4}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $11^\frac{-3}{8}=\sqrt{11^{-3}}$.

При других условиях степень с дробным показателем определить невозможно.

Например, $(-13,4)^\frac{10}{3}=\sqrt{(-13,4)^{10}}$, $(-11)^\frac{5}{4}=\sqrt{(-11)^5}$.

К тому же, при применении данного определения является важным, чтобы дробный показатель $\frac{m}{n}$ был несократимой дробью.

Серьезность данного замечания в том, что степенью отрицательного числа с дробным сократимым показателем, например, $\frac{10}{14}$ будет положительное число, а степенью того же числа с уже сокращенным показателем $\frac{5}{7}$ будет отрицательное число.

Например, $(-1)^\frac{10}{14}=\sqrt{(-1)^{10}}=\sqrt{1^{10}}=1$, а $(-1)^\frac{5}{7}=\sqrt{(-1)^5}=-1$.

Таким образом, при выполнении сокращения дроби $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ не выполняется равенство $(-1)^\frac{10}{14}=(-1)^\frac{5}{7}$.

Замечание 1

Нужно отметить, что чаще применяется более удобное и простое первое определение степени с показателем в виде дроби.

В случае записи дробного показателя степени в виде смешанной дроби или десятичной, необходимо показатель степени преобразовать к виду обыкновенной дроби.

Например, $(2 \frac{3}{7})^{1 \frac{2}{7}}=(2 \frac{3}{7})^\frac{9}{7}=\sqrt{(2 \frac{3}{7})^9}$, $7^{3,6}=7^\frac{36}{10}=\sqrt{7^{36}}$.

Степень с иррациональным и действительным показателем

К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа.

Разберем понятие степени с иррациональным показателем, т.к. степень с рациональным показателем мы рассмотрели.

Рассмотрим последовательность приближений к числу $\alpha$, которые являются рациональными числами. Т.е. имеем последовательность рациональных чисел $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, которые определяют число $\alpha$ с любой степенью точности. Если вычислить степени с этими показателями $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, то окажется, что эти числа являются приближениями к некоторому числу $b$.

Определение 4

Степенью числа $a>0$ с иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение $a^\alpha$, которое имеет значение, равное пределу последовательности $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … – последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$.

Выражение a n (степень с целым показателем) будет определено во всех случаях, за исключением случая, когда a = 0 и при этом n меньше либо равно нулю.

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (при a не равном нулю);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (при b не равном нулю);

a 0 = 1 (при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то a m > a n , при a>1 и a m

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (a m) n = a (m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a (m/n)) n = a m .

Это равенство означает, что число a (m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа a m .

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m - некоторое целое число, n - некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(a m) . Исходя из определения: a (m/n) = n√(a m).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0 r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число a r будет положительным .

Основные свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Данные свойства вытекают из свойств корней. Все данные свойства доказываются аналогичным способом, поэтому ограничимся доказательством только одного из них, например, первого (a p)*(a q) = a (p + q) .

Пусть p = m/n, a q = k/l, где n, l - некоторые натуральные числа, а m, k - некоторые целые числа. Тогда нужно доказать, что:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Сначала приведем дроби m/n k/l к общему знаменателю. Получим дроби (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Перепишем левую часть равенства с помощью этих обозначений и получим:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m/n)+(k/l)) .

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для

Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .