Реклама на портале

Как решать систему уравнений с параметрами. Решение систем линейных уравнений с параметрами

(1759 - 1805) - выдающийся немецкий поэт и драматург, один из крупнейших представителей романтизма в европейской литературе XVIII-XIX веков. В своих произведениях он выступал с защитой свободы и достоинства человеческой личности. Вот уже более двух столетий его пьесы не сходят со сцен театров всего мира.

Самыми известными драмами Шиллера стали «Коварство и любовь », «Разбойники», «Мария Стюарт » и трилогия «Валленштейн ».

Мы отобрали 10 цитат из его произведений:

Не плоть и кровь - сердце делает нас отцами и детьми. «Разбойники»

Закон не создал ни одного великого человека, лишь свобода порождает гигантов и высокие порывы. «Разбойники»

Силы растут с нуждой... Вот почему я никогда не трушу, когда доходит до крайности. Мужество растет с опасностью: чем туже приходится, тем больше сил. «Разбойники»

Насилие ожесточает мечтателей, но не исправляет их. «Коварство и любовь »

По мне - для мертвых только нет надежды. «Дон Карлос»

Все эти ваши земные владыки, словно мечами херувимов, защищены... защищены от правды своими пороками... «Коварство и любовь »

Кто ничего не боится - не менее силен, чем тот, кого боятся все. «Разбойники»

Когда мы, любуясь картиной, забываем о художнике, то для него это лучшая похвала. «

Ты хочешь, чтобы я проклял моего сына? - (граф фон Моор)

Нет, нет! Вам незачем проклинать сына! Кого вы зовете своим сыном? Того, кому вы дали жизнь и кто делает все, чтобы сократить вашу? - (Франц, сын графа фон Моор, о брате Карле)

У меня все права быть недовольным природой, и, клянусь честью, я воспользуюсь ими. Зачем не я первый вышел из материнского чрева? Зачем не единственный? Зачем природа взвалила на меня это бремя уродства? Именно на меня? Словно она обанкротилась перед моим рождением. Почему именно мне достался этот лапландский нос? Этот рот как у негра? Эти готтентотские глаза? В самом деле, мне кажется, что она у всех людских пород взяла самое мерзкое, смешала в кучу и испекла меня из такого теста. Ад и смерть! Кто дал ей право одарить его всем, все отняв у меня? Разве может кто-нибудь задобрить ее, еще не родившись, или разобидеть, еще не увидев света? Почему она так предвзято взялась за дело? Нет, нет! Я несправедлив к ней. Высадив нас, нагих и жалких, на берегу этого безграничного океана - жизни, она дала нам изобретательный ум. Плыви, кто может плыть, а неловкий - тони! Меня она ничем не снабдила в дорогу. Все, чем бы я ни стал, будет делом моих рук. У всех одинаковые права на большое и малое. Притязание разбивается о притязание, стремление о стремление, мощь о мощь. Право на стороне победителя, а закон для нас - лишь пределы наших сил. - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)

Существуют, конечно, некие общепринятые понятия, придуманные людьми, чтобы поддерживать пульс миропорядка. Честное имя - право же, ценная монета: можно неплохо поживиться, умело пуская ее в оборот. Совесть - о, это отличное пугало, чтобы отгонять воробьев от вишневых деревьев, или, вернее, ловко составленный вексель, который выпутает из беды и банкрота. Что говорить, весьма похвальные понятия! Дураков они держат в решпекте, чернь под каблуком, а умникам развязывают руки. Шутки в сторону, забавные понятия! - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)

Кто ничего не боится - не менее силен, чем тот, кого боятся все. Нынче в моде пряжки на панталонах, позволяющие, по желанию, то стягивать, то распускать их. Мы велим сшить себе и совесть по новому фасону, чтобы пошире растянуть ее, когда раздобреем! Наше дело сторона! Обратитесь к портному! - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)

Мне столько врали про так называемую кровную любовь, что у иного честного дурака голова пошла бы кругом. "Это брат твой!" Переведем на язык рассудка: он вынут из той же печи, откуда вынули и тебя, а посему он для тебя... священен. Вдумайтесь в этот мудрейший силлогизм, в этот смехотворный вывод: от соседства тел к гармонии душ, от общего места рождения к общности чувств, от одинаковой пищи к одинаковым склонностям. И дальше: "Это твой отец! Он дал тебе жизнь, ты его плоть и кровь, а посему он для тебя... священен". Опять хитрейший силлогизм! Но спрашивается, почему он произвел меня на свет? Ведь не из любви же ко мне, когда я еще только должен был стать собою. Да разве он меня знал до того, как меня смастерил? Или он хотел сделать меня таким, каким я стал? Или, желая сотворить именно меня, знал, что из меня получится? Надеюсь, нет: иначе мне пришлось бы наказать его за то, что он все-таки произвел меня на свет. Уж не возблагодарить ли мне его за то, что я родился мужчиной? Так же бессмысленно, как жаловаться, если бы я оказался женщиной! Могу ли я признавать любовь, которая не основана на уважении к моему "я"? А какое могло здесь быть уважение к моему "я", когда это "я" само возникло из того, чему бы должно было служить предпосылкой? Где же тут священное? Уж не в самом ли акте, благодаря которому я возник? Но он был не более как скотским удовлетворением скотских инстинктов. Или, быть может, священен результат этого акта? Но от него бы мы охотно избавились, не грози это опасностью нашей плоти и крови. Или я должен прославлять отца за то, что он меня любит? Но ведь это - только тщеславие, первородный грех всех художников, кичащихся своим произведением, даже если оно безобразно. Вот вам и все колдовство, которое вы так прочно окутали священным туманом, чтобы во зло употребить нашу трусость. Неужто же и мне, как ребенку, ходить на этих помочах? - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)

О, как мне гадок становится этот век бездарных борзописцев, когда я читаю в моем милом Плутархе о великих мужах древности. Сверкающая искра Прометея погасла. "Ее заменил плаунный порошок - театральный огонь, от которого не раскуришь и трубки. Французский аббат утверждает, что Александр был жалким трусом; чахоточный профессор, при каждом слове подносящий к носу флакончик с нашатырем, читает лекции о силе; молодчики, которые, единожды сплутовав, готовы тут же упасть в обморок от страха, критикуют тактику Ганнибала; желторотые мальчишки выуживают фразы о битве при Каннах и хнычут, переводя тексты, повествующие о победах Сципиона. Недурная награда за пот, лившийся с вас в битвах: вы живете теперь в гимназиях, и школьники нехотя таскают в ранцах ваше бессмертие! Недурное вознаграждение за щедро пролитую кровь - пойти на обертку грошовых пряников в лавке нюрнбергского торгаша или, в случае особой удачи, попасть в руки французскому драматургу, который поставит вас на ходули и начнет дергать за веревочки! - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)

Пропади он пропадом, этот хилый век кастратов, способный только пережевывать подвиги былых времен, поносить в комментариях героев древности или корежить их в трагедиях. В его чреслах иссякла сила, и людей плодят теперь с помощью пивных дрожжей! Они калечат свою здоровую природу пошлыми условностями, боятся осушить стакан вина: а вдруг не за того выпьешь, подхалимничают перед последним лакеем, чтобы тот замолвил за них словечко его светлости, и травят бедняка, потому что он им не страшен; они до небес превозносят друг друга за удачный обед и готовы друг друга отравить из-за подстилки, которую у них перехватили на аукционе. Они проклинают саддукея (Саддукеи - религиозно-политическая секта в Древней Иудее) за то, что неусердно посещает храм, а сами подсчитывают у алтаря свои ростовщические проценты; они преклоняют колена, чтобы попышнее распустить свой плащ, и не сводят глаз с проповедника, высматривая, как завит у него парик; они падают в обморок, увидев, как режут гуся, и рукоплещут, когда их конкурент обанкротится на бирже. - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)

Это мне-то сдавить свое тело шнуровкой, а волю зашнуровать законами? Закон заставляет ползти улиткой и того, кто мог бы взлететь орлом! Закон не создал ни одного великого человека, лишь свобода порождает гигантов и высокие порывы. - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)

Свобода тоже должна иметь господина. Без головы погибли Рим и Спарта. - (Роллер, разбойник)

Люди! Люди! Лживые, коварные ехидны! Их слезы - вода! Их сердца - железо! Поцелуй на устах - и кинжал в сердце! Львы и леопарды кормят своих детенышей, вороны носят падаль своим птенцам, а он, он... Черную злобу научился я сносить. Я могу улыбаться, глядя, как мой заклятый враг поднимает бокал, наполненный кровью моего сердца... Но если кровная любовь предает меня, если любовь отца превращается в мегеру, - о, тогда возгорись пламенем, долготерпение мужа, обернись тигром, кроткий ягненок, каждая жилка наливайся злобой и гибелью! [...] Я так несказанно любил его! Ни один сын не любил так своего отца! Тысячу жизней положил бы я за него! - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)

Люди заслонили от меня человечество, когда я взывал к человечеству. Прочь от меня сострадание и человеческое милосердие! - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)

Прочь! О, этот чадолюбивый, милосердный отец, отдавший сына на съедение волкам и чудовищам! Сидя дома, он услаждает себя дорогими винами и покоит свое дряхлое тело на пуховых подушках, в то время как его великий, прекрасный сын - в тисках нужды! Стыдитесь, вы, чудовища! Стыдитесь, драконовы сердца! Вы - позор человечества! Своего единственного сына... - (Амалия графу фон Моор)

Я считал, что у него их двое. - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)

Да, он заслуживает таких сыновей, как ты. На смертном одре он будет тщетно протягивать иссохшие руки к своему Карлу и с ужасом отдернет их, коснувшись ледяной руки Франца. О, как сладостно, как бесконечно сладостно быть проклятым твоим отцом! - (Амалия Францу)

Цитаты из трагедии Фридриха Шиллера "Разбойники", 1781
- Ты хочешь, чтобы я проклял моего сына? - (граф фон Моор)
- Нет, нет! Вам незачем проклинать сына! Кого вы зовете своим сыном? Того, кому вы дали жизнь и кто делает все, чтобы сократить вашу? - (Франц, сын графа фон Моор, о брате Карле)
У меня все права быть недовольным природой, и, клянусь честью, я воспользуюсь ими. Зачем не я первый вышел из материнского чрева?* Зачем не единственный? Зачем природа взвалила на меня это бремя уродства? Именно на меня? Словно она обанкротилась перед моим рождением. Почему именно мне достался этот лапландский нос? Этот рот как у негра? Эти готтентотские глаза? В самом деле, мне кажется, что она у всех людских пород взяла самое мерзкое, смешала в кучу и испекла меня из такого теста. Ад и смерть! Кто дал ей право одарить его всем, все отняв у меня? Разве может кто-нибудь задобрить ее, еще не родившись, или разобидеть, еще не увидев света? Почему она так предвзято взялась за дело? Нет, нет! Я несправедлив к ней. Высадив нас, нагих и жалких, на берегу этого безграничного океана - жизни, она дала нам изобретательный ум. Плыви, кто может плыть, а неловкий - тони! Меня она ничем не снабдила в дорогу. Все, чем бы я ни стал, будет делом моих рук. У всех одинаковые права на большое и малое. Притязание разбивается о притязание, стремление о стремление, мощь о мощь. Право на стороне победителя, а закон для нас - лишь пределы наших сил. - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)
Существуют, конечно, некие общепринятые понятия, придуманные людьми, чтобы поддерживать пульс миропорядка. Честное имя - право же, ценная монета: можно неплохо поживиться, умело пуская ее в оборот. Совесть - о, это отличное пугало, чтобы отгонять воробьев от вишневых деревьев, или, вернее, ловко составленный вексель, который выпутает из беды и банкрота. Что говорить, весьма похвальные понятия! Дураков они держат в решпекте, чернь под каблуком, а умникам развязывают руки. Шутки в сторону, забавные понятия! - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)
Кто ничего не боится - не менее силен, чем тот, кого боятся все. Нынче в моде пряжки на панталонах, позволяющие, по желанию, то стягивать, то распускать их. Мы велим сшить себе и совесть по новому фасону, чтобы пошире растянуть ее, когда раздобреем! Наше дело сторона! Обратитесь к портному! - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)
Мне столько врали про так называемую кровную любовь, что у иного честного дурака голова пошла бы кругом. "Это брат твой!" Переведем на язык рассудка: он вынут из той же печи, откуда вынули и тебя, а посему он для тебя... священен. Вдумайтесь в этот мудрейший силлогизм, в этот смехотворный вывод: от соседства тел к гармонии душ, от общего места рождения к общности чувств, от одинаковой пищи к одинаковым склонностям. И дальше: "Это твой отец! Он дал тебе жизнь, ты его плоть и кровь, а посему он для тебя... священен". Опять хитрейший силлогизм! Но спрашивается, почему он произвел меня на свет? Ведь не из любви же ко мне, когда я еще только должен был стать собою. Да разве он меня знал до того, как меня смастерил? Или он хотел сделать меня таким, каким я стал? Или, желая сотворить именно меня, знал, что из меня получится? Надеюсь, нет: иначе мне пришлось бы наказать его за то, что он все-таки произвел меня на свет. Уж не возблагодарить ли мне его за то, что я родился мужчиной? Так же бессмысленно, как жаловаться, если бы я оказался женщиной! Могу ли я признавать любовь, которая не основана на уважении к моему "я"? А какое могло здесь быть уважение к моему "я", когда это "я" само возникло из того, чему бы должно было служить предпосылкой? Где же тут священное? Уж не в самом ли акте, благодаря которому я возник? Но он был не более как скотским удовлетворением скотских инстинктов. Или, быть может, священен результат этого акта? Но от него бы мы охотно избавились, не грози это опасностью нашей плоти и крови. Или я должен прославлять отца за то, что он меня любит? Но ведь это - только тщеславие, первородный грех всех художников, кичащихся своим произведением, даже если оно безобразно. Вот вам и все колдовство, которое вы так прочно окутали священным туманом, чтобы во зло употребить нашу трусость. Неужто же и мне, как ребенку, ходить на этих помочах? - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)
О, как мне гадок становится этот век бездарных борзописцев, когда я читаю в моем милом Плутархе о великих мужах древности. Сверкающая искра Прометея погасла. "Ее заменил плаунный порошок - театральный огонь, от которого не раскуришь и трубки. Французский аббат утверждает, что Александр был жалким трусом; чахоточный профессор, при каждом слове подносящий к носу флакончик с нашатырем, читает лекции о силе; молодчики, которые, единожды сплутовав, готовы тут же упасть в обморок от страха, критикуют тактику Ганнибала; желторотые мальчишки выуживают фразы о битве при Каннах и хнычут, переводя тексты, повествующие о победах Сципиона. Недурная награда за пот, лившийся с вас в битвах: вы живете теперь в гимназиях, и школьники нехотя таскают в ранцах ваше бессмертие! Недурное вознаграждение за щедро пролитую кровь - пойти на обертку грошовых пряников в лавке нюрнбергского торгаша или, в случае особой удачи, попасть в руки французскому драматургу, который поставит вас на ходули и начнет дергать за веревочки! - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)
Пропади он пропадом, этот хилый век кастратов, способный только пережевывать подвиги былых времен, поносить в комментариях героев древности или корежить их в трагедиях. В его чреслах иссякла сила, и людей плодят теперь с помощью пивных дрожжей! Они калечат свою здоровую природу пошлыми условностями, боятся осушить стакан вина: а вдруг не за того выпьешь, подхалимничают перед последним лакеем, чтобы тот замолвил за них словечко его светлости, и травят бедняка, потому что он им не страшен; они до небес превозносят друг друга за удачный обед и готовы друг друга отравить из-за подстилки, которую у них перехватили на аукционе. Они проклинают саддукея (Саддукеи - религиозно-политическая секта в Древней Иудее) за то, что неусердно посещает храм, а сами подсчитывают у алтаря свои ростовщические проценты; они преклоняют колена, чтобы попышнее распустить свой плащ, и не сводят глаз с проповедника, высматривая, как завит у него парик; они падают в обморок, увидев, как режут гуся, и рукоплещут, когда их конкурент обанкротится на бирже. - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)
Это мне-то сдавить свое тело шнуровкой, а волю зашнуровать законами? Закон заставляет ползти улиткой и того, кто мог бы взлететь орлом! Закон не создал ни одного великого человека, лишь свобода порождает гигантов и высокие порывы. - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)
Свобода тоже должна иметь господина. Без головы погибли Рим и Спарта. - (Роллер, разбойник)
Люди! Люди! Лживые, коварные ехидны! Их слезы - вода! Их сердца - железо! Поцелуй на устах - и кинжал в сердце! Львы и леопарды кормят своих детенышей, вороны носят падаль своим птенцам, а он, он... Черную злобу научился я сносить. Я могу улыбаться, глядя, как мой заклятый враг поднимает бокал, наполненный кровью моего сердца... Но если кровная любовь предает меня, если любовь отца превращается в мегеру, - о, тогда возгорись пламенем, долготерпение мужа, обернись тигром, кроткий ягненок, каждая жилка наливайся злобой и гибелью! [...] Я так несказанно любил его! Ни один сын не любил так своего отца! Тысячу жизней положил бы я за него! - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)
Люди заслонили от меня человечество, когда я взывал к человечеству. Прочь от меня сострадание и человеческое милосердие! - (Карл, сын графа фон Моор, брат Франца)
- Прочь! О, этот чадолюбивый, милосердный отец, отдавший сына на съедение волкам и чудовищам! Сидя дома, он услаждает себя дорогими винами и покоит свое дряхлое тело на пуховых подушках, в то время как его великий, прекрасный сын - в тисках нужды! Стыдитесь, вы, чудовища! Стыдитесь, драконовы сердца! Вы - позор человечества! Своего единственного сына... - (Амалия графу фон Моор)
- Я считал, что у него их двое. - (Франц, сын графа фон Моор, брат Карла)
- Да, он заслуживает таких сыновей, как ты. На смертном одре он будет тщетно протягивать иссохшие руки к своему Карлу и с ужасом отдернет их, коснувшись ледяной руки Франца. О, как сладостно, как бесконечно сладостно быть проклятым твоим отцом! - (Амалия Францу)

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге 4(а – 1)(а – 6) > 0
- 2(а + 1) < 0
9а – 5 > 0 		а < 1: а > 6
а > - 1
а > 5/9

(Рис. 1 )

< a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

  • Крамор В.С . Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И . Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.

    • Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

    Пример: ax+b=c.

    В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами .

    Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

    Пример: –5х +10=– 1;

    x +4y= 0;

    –102–1000y= ; и т. д.

    это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

    Решить уравнение с параметрами – это значит:

    1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

    2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

    Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

    Если а ¹0, то https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

    при а=0 и b=c, х – любое действительное число;

    при а=0 и b ¹ c, уравнение корней не имеет.

    В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0 , при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.

    I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным

    В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х .

    Пример 1. : 2а (а –2)х=а– 2

    1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

    2а (а –2)=0

    решим это уравнение относительно переменной а .

    2а= 0 или а –2= 0, откуда а= 0, а= 2.

    2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

    При а= 0 имеем 0×х=– 2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х , то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

    При а= 2 имеем 0×х= 0, это справедливо при любом значении х , значит, корнем уравнения является любое действительное число х .

    3. Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а ¹ 0 и а ¹ 2, тогда 2а (а –2)¹ 0 и обе части уравнения можно поделить на 2а (а –2), получим:

    Так как а ¹ 2, то дробь можно сократить на (а –2), тогда имеем .

    Ответ: при а= 0, корней нет;

    при а= 2, корень – любое действительное число;

    при а ¹ 0, а ¹ 2, .

    Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.

    1. Определить «контрольные» значения параметра.

    2. Решить уравнение относительно х , при контрольных значениях параметра.

    3. Решить уравнение относительно х , при значениях, отличных от «контрольных».

    4. Записать ответ в виде:

    Ответ: 1) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

    2) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

    3) при значениях параметра... , уравнение корней не имеет.

    Пример 2. Решить уравнение с параметром

    (а 2–2а +1)х=а 2+2а– 3

    1. Найдем контрольные значения параметра

    а 2–2а +1=0 Û (а –1)2=0 Û а =1

    2. Решим уравнение при а= 1

    0×х= (1+2×1–3) Û 0×х= 0 Þ х – любое действительное число.

    3. Решим уравнение при а ¹ 1

    а 2–2а +1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

    так как а ¹ 1, дробь можно сократить

    https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

    Пример 3. Решить уравнение с параметром

    https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

    4. Ответ: 1) при а= 2, корней нет;

    2) при а ¹ 0, а ¹ 2, ;

    3) при а= 0 уравнение не имеет смысла.

    Пример 4. Решить уравнение с параметром

    https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

    https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

    так как х ¹ 0 и а ¹ – 2, уравнение равносильно уравнению

    (а +3)х= 2а –1

    найдем контрольные значения параметра

    а +3= 0 Þ а=– 3.

    2. Решим уравнение при а=– 3.

    0×х=– 7

    при любом х равенство места не имеет

    3. Решим уравнение при а ¹ – 3, а+ 3¹ 0.

    https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

    поэтому, чтобы уравнение имело смысл https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, корней нет;

    2) при а ¹ – 2, а ¹ – 3, , .

    II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к квадратным

    В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2, так как в этом случае уравнение становится линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного уравнения.

    Пример 5. Решить уравнение с параметром

    (а –1)х 2+2(2а +1)х +(4а +3)= 0

    1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

    а– 1=0 Û а= 1

    2. Решим уравнение при а= 1

    0×х 2+2(2×1+1)х +4×1+3=0 Û 6х +7=0 Û .

    3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

    D =(2(2а +1))2–4(а –1)(4а +3)=(4а +1)2–(4а –4)(4а +3)=4(5а +4)

    4(5а +4)=0 Û .

    4. Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

    https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

    9х 2+6х +1=0 Û (3х +1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. В этом случае D <0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

    6. Решим уравнение при а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

    7. Ответ: 1) при https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

    2) при а= 1, ;

    3) при , действительных корней нет;

    4) при и а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

    1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а ¹0. В знаменателе стоят и выражения а2х– 2а и 2–ах , которые тоже должны быть отличны от нуля

    а2х– 2а ¹0 Û а (ах –2)¹0 Û а ¹0, ах –2¹0 Û а ¹0, ;

    2–ах ¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

    2. Решим уравнение при а ¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

    (1–а )х 2+2х +1+а =0 ...................(*)

    3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2

    1–а =0 Û а =1

    4. Решим уравнение (*) при а =1

    0×х 2+2х +2=0 Û 2х=– 2 Û х= –1

    сразу проверим, не совпадает ли х с https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, значит, при а =1, х=– 1.