Понятие корня н степени из действительного числа. Корень степени n: основные определения

Корнем степени n из действительного числа a , где n - натуральное число, называется такое действительное число x , n -ая степень которого равна a .

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n -ой степени из числа a называется извлечением корня. Число а называется подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n -ой степени для любого действительного числа a . При четном n существует корень n -ой степени только для неотрицательного числаa . Чтобы устранить двузначность корня n -ой степени из числа a , вводится понятие арифметического корня n -ой степени из числа a .

Понятие арифметического корня степени N

Если и n - натуральное число, большее 1 , то существует, и только одно, неотрицательное число х , такое, что выполняется равенство . Это число х называется арифметическим корнем n -й степени из неотрицательного числа а и обозначается . Число а называется подкоренным числом, n - показателем корня.

Итак, согласно определению запись , где , означает, во-первых, что и, во-вторых, что , т.е. .

Понятие степени с рациональным показателем

Степень с натуральным показателем: пусть а - действительное число, а n - натуральное число, большее единицы, n -й степенью числа а называют произведение n множителей, каждый из которых равен а , т.е. . Число а - основание степени, n - показатель степени. Степень с нулевым показателем: полагают по определению, если , то . Нулевая степень числа 0 не имеет смысла. Степень с отрицательным целым показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, то . Степень с дробным показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, m - целое число, то .

Операции с корнями.

Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:

Теперь формула a m: a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m: a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

Где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

Любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует, что x – любое число; но принимая во внимание, что внашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения. Таким образом, x > 0.

Сценарий урока в 11 классе по теме:

« Корень n-й степени из действительного числа. »

Цель урока: Формирование у учащихся целостного представления о корне n -ой степени и арифметического корень n-ой степени, формирование вычислительных навыков, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач, содержащих радикал. Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы.

Предметные: создать содержательные и организационные условия для усвоения материала по теме « Числовые и буквенные выражения» на уровне восприятия осмысления и первичного запоминания; формировать умения применять данные сведения при вычислении корня n-й степени из действительного числа;

Метопредметные: способствовать развитию вычислительных навыков; умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

Личностные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать ответы других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Планируемый результат.

Предметные: уметь в процессе реальной ситуации применять свойства корня n-й степени из действительного числа при вычислении корней, решении уравнений.

Личностные: формировать внимательность и аккуратность в вычислениях, требовательное отношение к себе и к своей работе, воспитывать чувство взаимопомощи.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Мотивация к учебной деятельности:

Восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.

Наш урок пройдёт под девизом: «Покорим любую вершину, если будем к ней стремиться». Нам с вами в течение урока нужно успеть преодолеть несколько вершин, и каждый из вас должен вложить все свои усилия, чтобы покорить эти вершины.

«Сегодня у нас урок, на котором мы должны познакомиться с новым понятием: « Корень n-й степени» и научиться применять это понятие к преобразованию различных выражений.

Ваша цель – на основе различных форм работы активизировать имеющиеся знания, внести свой вклад в изучение материала и получить хорошие оценки»
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида y =x 2 . Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства?
а) индивидуальный опрос:

что это за выражение

что называется квадратным корнем

что называется арифметическим квадратным корнем

перечислите свойства квадратного корня

б) работа в парах: вычислите.

-

2. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации: Решите уравнение x 4 =1 . Как мы его можем решить? (Аналитически и графически). Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х 4 прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках: А (-1;1) и B(1;1). Абсциссы точек А и B, т.е. х 1 = -1,

х 2 = 1, являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16: А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не можем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.

х 2 = - (читается: «корень четвертой степени из пяти»).

Мы говорили об уравнении х 4 = а, где а 0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, где а 0, а n - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень х 1 , который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа х 1 введем обозначение .

Определение 1. Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят "«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.

Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в курсе алгебры 9-го класса.

Итак, если а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Вообще, =b и b n =а - одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b, но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.

Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6) 6 =36 - верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению - положительное число, значит = 6 (а не -6). Точно так же, хотя и 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать = 2 (и в то же время ≠-2).

Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix - «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» - это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ - это стилизованная буква r.

Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2) 5 = -32 можно переписать в эквивалентной форме как =-2. При этом используется следующее определение.

Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак, если а , n=,5,7,…,то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.

5. Первичное закрепление знаний:

1. Вычислить: № № 33.5; 33.6; 33.74 33.8 устно а) ; б) ; в) ; г) .

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2 4 =16 (это меньше, чем 17), а З 4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:
2. Найти значения следующих выражений.

Поставить около примера соответствующую букву.

Небольшая информация о великом учёном. Рене Декарт (1596-1650) французский дворянин, математик, философ, физиолог, мыслитель. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел буквенные обозначения x 2 , y 3 . Всем известны декартовы координаты, определяющие функцию переменной величины.

3 . Решить уравнения: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Решение: а) Если = -2, то y = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим: 3х+4= - 8; 3х= -12; х = -4. б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим: х=1.

в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
Вашему вниманию предложено несколько заданий. Когда вы выполните эти задания, вы узнаете имя и фамилию великого учёного-математика. Этот учёный в 1637 г первым ввел знак корня.

6. Давайте немного отдохнём.

Поднимает руки класс - это «раз».

Повернулась голова – это «два».

Руки вниз, вперёд смотри – это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,

С силой их к рукам прижать –это «пять».

Всем ребятам надо сесть –это «шесть».

7. Самостоятельная работа:

вариант: 2 вариант:

б) 3-. б)12 -6 .

2. Решите уравнение: а) х 4 = -16; б) 0,02х 6 -1,28=0; а) х 8 = -3; б)0,3х 9 – 2,4=0;

в) = -2; в)= 2

8. Повторение: Найдите корень уравнения = - х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ впишите меньший из корней.

9. Рефлексия: Чему вы научились на уроке? Что было интересным? Что было трудным?

Решим графически уравнение (икс в шестой степени равно единице), для этого построим в одной системе координат следующие графики функций: (игрек равен икс в шестой степени)

Как мы видим, они пересекаются в двух точках А и С, где абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения,т.е. .(рис.2)

Из решения двух уравнениий мы видим, что каждое из них имеет два корня, причем эти числа взаимно противоположны.

В этих двух уравнениях корни находятся достаточно легко.

Рассмотрим уравнение 7 (икс в шестой степени равен семи) (рис.3)

Строим в одной системе координат графики функции и у=7

По чертежу видно, что уравнение имеет два корня икс один и икс два, но точные их значения указать нельзя, а только приближенные: они располагаются на оси х, один корень чуть левее точки -1, а второй — чуть правее точки 1.

Для того, чтобы разрешить аналогичные ситуации, математики ввели новый символ, корень шестой степени. И с помощью этого символа корни данного уравнения можно записать так: (икс один равен корень шестой степени из семи и икс два равен минус корень шестой степени из семи).

Рассмотрим решение уравнений с нечетной степенью

и (рис.4)

Как видно из чертежей, каждое из уравнений имеет один корень, но в первом уравнении корнем является целое число два, а во втором точно указать значение нельзя, следовательно, для него введем обозначение (корень пятой степени из шести).

Исходя из рассмотренных примеров сделаем вывод и дадим определение:

1.Уравнение (икс в степени эн равно а) , где n(эн) - любое натуральное четное число, а имеет два корня:

(корень энной степени из числа а и минус корень энной степени из числа а)

2.Уравнение (икс в степени эн равно а) , где n(эн) - любое натуральное нечетное число, а (а больше нуля) имеет один корень: (корень энной степени из числа а)

3.Уравнение (икс в степени эн равно ноль) имеет единственный корень х=0 (икс равен нулю).

Определение: Корнем n-й (энной) степени из неотрицительного числа а (n=2,3,34,5…) называют такое неотрицительное число,которое при возведении в степень n (эн) дает в результате число а.

Это число обозначают (корнем энной степени из числа а). Число а при этом называют подкоренным числом, а число n (эн) - показателем корня.

(Частный случай вы изучали в алгебре 8-го класса, когда n=2: пишут (корень квадратный из а)).

Необходимо запомнить, если

(если а неотрицательное число, n — натуральное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть неотрицательное число и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).

Другими словами, определение можно перефразировать следующим образом:

(корнем энной степени из числа а называется число бэ, энная степень которого равна а).

Под термином извлечение из под корня понимают нахождение корня из неотрицательного числа. Другими словами, нужно выполнить обратное действие к возведению в соответствующую степень. Рассмотрим таблицу:

Будьте внимательны, согласно определению корня энной степени, в таблице рассматриваются только положительные числа.

Рассмотрим пример 1: Вычислите

а)(корень шестой степени из шестидесяти четырех равен двум, так как два - положительное число и два в шестой степени равно шестидесяти четырем).

(корень третьей степени из ноля целых двести шестнадцати тысячных равен ноль целых шесть десятых, так как найденное число положительно и в третьей степени дает падкоренное число)

Так как =

г) Согласно определению корня энной степени запишем два равенства: и

Следовательно, нам нужно найти число, которое в четвертой степени равно 55, но два в четвертой степени равно шестнадцати, что меньше 55,

И три в четвертой степени равно восьмидесяти одному, что больше 55, . Значит, точного значения указать нельзя, поэтому воспользуемся знаком приближенного равенства с точностью до сотых.

Для извлечения корня из отрицательного числа пользуются вторым определением:

Определение: Корнем нечетной степениn из отрицательного числа а (n=3,5,7,…)называют такое отрицательное число m, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

число а при этом называют подкоренным числом, а число n (эн) - показателем корня.

Для корня нечетной степени справедливы два свойства:

(если а — отрицательное число,n — натуральное нечетное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть отрицательное число, и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).

Проанализировав определения и свойства корня энной степени из числа, сделаем вывод:

Корень четной степени имеет смысл (то есть определен) только для неотрицательного подкоренного выражения;

Корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:

Замечание:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если , и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени , т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3.Если , k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4.Если , k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,

Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что

Теорема 5.Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.

Примеры решения заданий

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2 ), получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления.

Урок и презентация на тему: "Корень n-ой степени из действительного числа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"

Корень n степени. Повторение пройденного.

Ребята, тема сегодняшнего занятия называется "Корень n-ой степени из действительного числа" .
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида $y=x^2$. Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства? Повторите самостоятельно эту тему.
Давайте рассмотрим функцию вида $y=x^4$ и построим ее график.

Теперь графически решим уравнение: $x^4=16$.
На нашем графике функции проведем прямую $y=16$ и посмотрим, в каких точках два наших графика пересекаются.
По графику функции хорошо видно, что у нас два решения. Функции пересекаются в двух точках с координатами (-2;16) и (2;16). Абсциссы наших точек и есть решения нашего уравнения: $x_1=-2$ и $x_2=2$. Также легко найти корни уравнения $x^4=1$, очевидно, что $x_1=-1$ и $x_2=1$.
Как быть в случае, если есть уравнение $x^4=7$.
Давайте построим график наших функций:
По нашему графику хорошо видно, что уравнение имеет также два корня. Они симметричны относительно оси ординат, то есть они противоположны. Найти точное решение по графику функций не представляется возможным. Мы можем только сказать, что наши решения по модулю меньше 2, но больше 1. Также можно сказать, что наши корни являются иррациональными числами.
Столкнувшись с такой проблемой, математикам нужно было ее описать. Они ввели новое обозначение: $\sqrt{}$, который назвали корнем четвертой степени. Тогда корни нашего уравнения $x^4=7$ запишутся вот в таком виде: $x_1=-\sqrt{7}$ и $x_2=\sqrt{7}$. Читается, как корень четвертой степени из семи.
Мы говорили об уравнении вида $x^4=a$, где $а>0$ $(а=1,7,16)$. Мы можем рассматривать уравнения вида: $x^n=a$, где $а>0$, n - любое натуральное число.
Нам, следует обратить внимание на степень при х, от четности или нечетности степени - меняется количество решений. Давайте рассмотрим конкретный пример. Решим уравнение $x^5=8$. Построим графики функции:
По графику функций хорошо видно, что в нашем случае имеем всего одно решение. Решение принято обозначать как $\sqrt{8}$. Решая уравнение вида $x^5=a$ и пробежав по всей оси ординат, нетрудно понять, что это уравнение всегда будет иметь одно решение. При этом значение а может быть и меньше нуля.

Корень n степени. Определение

Определение. Корнем n-ой степени ($n=2,3,4…$) из неотрицательного числа а, называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Это число обозначают, как $\sqrt[n]{a}$. Число а называется подкоренным число, n – показатель корня.

Корни второй и третьей степени принято называть корнями квадратными и кубическими соответственно. Мы их изучали в восьмом и девятом классе.
Если $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, то:
1) $\sqrt[n]{a}≥0,$
2) $(\sqrt[n]{a})^n=a.$
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют "извлечением корня" .
Возведение в степень и извлечения корня - это одна и та же зависимость:

Ребята, обратите внимание, что в таблице представлены только положительные числа. В определении мы оговорили, что корень извлекается только из неотрицательного числа а. Дальше мы внесем уточнения, когда можно извлекать корень и из отрицательного числа а.

Корень n степени. Примеры решения

Вычислить:
а) $\sqrt{64}$.
Решение: $\sqrt{64}=8$, так как $8>0$ и $8^2=64$.

Б) $\sqrt{0,064}$.
Решение: $\sqrt{0,064}=0,4$, так как $0,4>0$ и $0,4^3=0,064$.

В) $\sqrt{0}$.
Решение: $\sqrt{0}=0$.

Г) $\sqrt{34}$.
Решение: В данном примере точное значение мы узнать не можем, наше число иррациональное. Но мы можем сказать, что оно больше 2 и меньше 3, так как 2 в 5 степени равно 32, а 3 в 5 степени равно 243. 34 лежит между этим числами. Приближенное значение мы можем найти с помощью калькулятора, который может вычислять корни $\sqrt{34}≈2,02$ с точностью до тысячных.
В нашем определении мы договорились вычислять корни n-ой степени только из положительных чисел. В начале урока мы видели пример, что можно извлекать корни n-ой степени и из отрицательных чисел. Мы рассмотрели нечетный показатель функции и теперь давайте внесем уточнения.

Определение. Корнем нечетной степени n (n=3,5,7,9…) из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведение которого в степень n получается а.

Обозначение принято использовать такие же.
Если $а 1) $\sqrt[n]{a} 2) $(\sqrt[n]{a})^n=a$.
Корень четной степени имеет смысл только для положительного подкоренного числа, корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного числа.

Примеры.
а)Решить уравнения: $\sqrt{3x+3}=-3$.
Решение: Если $\sqrt{y}=-3$, то $y=-27$. То есть, обе части нашего уравнения надо возвести в куб.
$3х+3=-27$.
$3х=-30$.
$х=-10$.

Б)Решить уравнения: $\sqrt{2х-1}=1$.
Возведем обе части в четвертую степень:
$2х-1=1$.
$2х=2$.
$х=1$.

В) Решить уравнения: $\sqrt{4x-1}=-5$.
Решение: Согласно нашему определению, корень четной степени можно извлекать только из положительного числа, а нам дано отрицательное, тогда корней нет.

Г)Решить уравнения: $\sqrt{x^2-7x+44}=2$.
Решение: Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ и $x_2=3$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите:
а) $\sqrt{81}$.
б) $\sqrt{0,0016}$.
в) $\sqrt{1}$.
г) $\sqrt{70}$.
2. Решите уравнения:
а) $\sqrt{2x+6}=2$.
б) $\sqrt{3x-5}=-1$.
в) $\sqrt{4x-8}=-4$.
г) $\sqrt{x^2-8x+49}=2$.