Новостройки

Полная энергия математического маятника. Математический маятник: период, ускорение и формулы

В качестве конкретного примера тела, вращающегося вокруг оси, рассмотрим движение маятников.

Физическим маятником называется твердое тело, обладающее горизонтальной осью вращения, вокруг которой оно совершает колебательные движения под действием своего веса (рис. 119).

Положение маятника полностью определяется углом его отклонения от положения равновесия, и поэтому для определения закона движения маятника достаточно найти зависимость этого угла от времени.

Уравнение вида:

называется уравнением (законом) движения маятника. Он зависит от начальных условий, т. е. от угла и угловой скорости Таким образом,

Предельным случаем физического Маятника является математический маятник, представляющий (как указывалось ранее - глава 2, § 3) материальную точку, соединенную с горизонтальной осью, вокруг которой она вращается, жестким невесомым стержнем (рис. 120). Расстояние материальной точки от оси вращения называется длиной математического маятника.

Уравнения движения физического и математического маятников

Выберем систему осей координат так, чтобы плоскость ху проходила через центр тяжести тела С и совпадала с плоскостью качания маятника, как это показано на чертеже (рис. 119). Ось направим перпендикулярно к плоскости чертежа на нас. Тогда на основании результатов предыдущего параграфа уравнение движения физического маятника запишем в виде:

где через обозначен момент инерции маятника относительно его оси вращения и

Поэтому можно написать:

Активной силой, действующей на маятник, является его вес момент которого относительно оси привеса будет:

где - расстояние от оси вращения маятника до его центра масс С.

Следовательно, приходим к следующему уравнению движения физического маятника:

Так как математический маятник является частным случаем физического, то записанное выше дифференциальное уравнение справедливо и для математического маятника. Если длина математического маятника равна а вес его то момент инерции его относительно оси вращения равен

Так как расстояние центра тяжести математического маятника от оси равно то окончательно дифференциальное уравнение движения математического маятника можно написать в виде:

Приведенная длина физического маятника

Сравнивая уравнения (16.8) и (16.9), можно заключить, что если параметры физического и математического маятников связаны соотношением

то законы движения физического и математического маятников одинаковы (при одинаковых начальных условиях).

Последнее соотношение указывает на ту длину, которую должен иметь математический маятник, чтобы двигаться так же, как соответствующий физический маятник. Эта длина называется приведенной длиной физического маятника. Смысл этого понятия заключается в том, что изучение движения физического маятника можно заменить изучением движения математического маятника, представляющего собой простейшую механическую схему.

Первый интеграл уравнения движения маятника

Уравнения движения физического и математического маятников имеют один и тот же вид, следовательно, уравнение их движения будет

Так как единственной силой, которая учитывается в этом уравнении, будет сила тяжести, принадлежащая потенциальному силовому полю, то имеет место закон сохранения механической энергии.

Последний можно получить простым приемом, именно умножим уравнение (16.10) на тогда

Интегрируя это уравнение, получим

Определяя постоянную интегрирования Си из начальных условий найдем

Решив последнее уравнение относительно получим

Это соотношение представляет собой первый интеграл дифференциального уравнения (16.10).

Определение опорных реакций физического и математического маятников

Первый интеграл уравнений движения позволяет определить опорные реакции маятников. Как указывалось в предыдущем параграфе, реакции опор определяются из уравнений (16.5). В случае физического маятника составляющие активной силы по осям координат и моменты ее относительно осей будут:

Координаты центра масс определяются формулами:

Тогда уравнения для определения реакций опор принимают вид:

Центробежные моменты инерции тела и расстояния между опорами должны быть известны по условиям задачи. Угловое ускорение в и угловая скорость со определяются из уравнений (16.9) и (16.4) в виде:

Таким образом, уравнения (16.12) полностью определяют составляющие опорных реакций физического маятника.

Уравнения (16.12) еще упрощаются, если рассматривать математический маятник. Действительно, так как материальная точка математического маятника расположена в плоскости то Кроме того, так как закреплена одна точка, то Следовательно, уравнения (16.12) обращаются в уравнения вида:

Из уравнений (16.13) с использованием уравнения (16.9) следует, что реакция опоры направлена вдоль нити I (рис. 120). Последнее представляет собой очевидный результат. Следовательно, проектируя составляющие равенств (16.13) на направление нити, найдем уравнение для определения реакции опоры вида (рис. 120):

Подставляя сюда значение и учитывая, что запишем:

Последнее соотношение определяет динамическую реакцию математического маятника. Заметим, что статическая реакция его будет

Качественное исследование характера движения маятника

Первый интеграл уравнения движеиия маятника позволяет провести качественное исследование характера движения его. Именно, запишем этот интеграл (16.11) в виде:

В процессе движения подкоренное выражение должно быть либо положительным, либо обращаться в некоторых точках в нуль. Допустим, что начальные условия таковы, что

В этом случае подкоренное выражение нигде не обращается в нуль. Следовательно, при движении маятник будет пробегать все значения угла и угловая скорость со маятника имеет один и тот же знак, который определяется направлением начальной угловой скорости, или угол будет либо все время возрастать, либо все время убывать, т. е. маятник будет вращаться в одну сторону.

Направления движения будут соответствовать тому или иному знаку в выражении (16.11). Необходимым условием реализации такого движения является наличие начальной угловой скорости, так как из неравенства (16.14) видно, что если то ни при каком начальном угле отклонения получить такое движение маятника невозможно.

Пусть теперь начальные условия таковы, что

В этом случае найдутся два таких значения угла при которых подкоренное выражение обращается в нуль. Пусть они соответствуют углам, определяемым равенством

Причем будет где-то в диапазоне изменения от 0 до . Далее, очевидно, что при

подкоренное выражение (16.11) будет положительным и при сколь угодно мало превышающем оно будет отрицательным.

Следовательно, при движении маятника его угол изменяется в диапазоне:

При угловая скорость маятника обращается в нуль и угол начинает уменьшаться до значения . При этом изменится знак угловой скорости или знак перед радикалом в выражении (16.11). Когда достигает значения угловая скорость маятника вновь обращается в нуль и угол опять начинает увеличиваться до значения

Таким образом, маятник будет совершать колебательные движения

Амплитуда колебаний маятника

При колебательных движениях маятника максимальная величина его отклонения от вертикали называется амплитудой колебания. Она равна которое определяется из равенства

Как следует из последней формулы, амплитуда колебания зависит от начальных данных основных характеристик маятника или его приведенной длины.

В частном случае, когда маятник отклонен от равновесного положения и отпущен без начальной скорости то будет равно , следовательно, амплитуда не зависит от приведенной длины.

Уравнение движения маятника в конечной форме

Пусть начальная скорость маятника равна нулю, тогда первый интеграл уравнения движения его будет:

Интегрируя это уравнение, находим

Будем вести отсчет времени от положения маятника, соответствующего тогда

Преобразуем подынтегральное выражение с помощью формулы:

Тогда получим:

Полученный интеграл называется эллиптическим интегралом первого рода. Он не может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций.

Обращение эллиптического интеграла (16.15) относительно его верхнего предела представляет уравнение движения маятника:

Это будет хорошо изученная эллиптическая функция Якоби.

Период колебания маятника

Время одного полного колебания маятника называется периодом его колебания. Обозначим его Т. Так как время движения маятника от положения до положения такое же, как время движения от то Т определится формулой:

Сделаем замену переменных, положив

При изменяющихся в пределах от 0 до будет меняться от 0 до . Далее,

и, следовательно,

Последний интеграл называется полным эллиптическим интегралом первого рода (значения его даются специальными таблицами).

При подынтегральная функция стремится к единице и .

Приближенные формулы малых колебаний маятника

В случае когда колебания маятника имеют небольшую амплитуду (практически не должно превышать 20°), можно положить

Тогда дифференциальное уравнение движения маятника преобретает вид:

Определение

Математический маятник - это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

\ \

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?\textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac{м}{с^2}$

Пример 2

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Математический маятник

Введение

Период колебаний

Выводы

Литература

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля - не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Уравнение движения математического маятника

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

mW =F +N , (1)
где F - действующая на точку активная сила, а N - реакция связи.

Рисунок 1

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

где W есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

В нашем случае получим в проекции на ось t

,
где m есть масса маятника.

Так как или , отсюда находим

.
Сокращая на m и полагая

, (3)
будем окончательно иметь:

. (4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

при t = 0, . (5)
Из интеграла энергии:

, (6)
где V - потенциальная энергия, а h - постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол jЈj 0 . Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j 0 мал (j 0 Ј1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (8)
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T ) малых колебаний математического маятника (период - промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

,
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT =2p Ю

(9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

j 0 = A , 0 = wB ,

т.е. B =0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

j = j 0 cos wt. (11)

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

,
то (4) можно представить в виде

.
Отсюда, умножая обе части уравнение на d j и интегрируя, получим:

. (12)
Обозначим здесь через j 0 угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j 0 будем иметь , откуда C = w 2 cosj 0 . В результате интеграл (12) даёт:

, (13)
где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

, (14)
где - работа на перемещении M 0 M активной силы F , если учесть, что в нашем случае v 0 =0, и (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j 0 и -j 0 (|j|Јj 0 , так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t =0, j=0. (15)

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (16)

, ,
то

.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем.

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Определение и физический смысл

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Какие бывают колебания?

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Опыт с маятниками

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль - держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обозначение величин и размерности

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).

Формула для математического маятника. Задача №1

Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:

Где l - длина нити, п = 3,14, а g - ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формула для пружинного маятника. Задача №2

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

В ней m - масса подвешенного к пружине груза, k - коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься - все-таки 2 величины из 4 являются константами - то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.

Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь - половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).

Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести $\vec F$ и сила упругости $\vec F_{ynp}$ нити взаимно компенсируются.

Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы $\vec F$ и $\vec F_{ynp}$ не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести $\vec F_\tau$, действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение $\vec a_\tau$ (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести $\vec F_\tau$ является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая $\vec F_n$ силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости $\vec F_{ynp}$. Равнодействующая сил $\vec F_n$ и $\vec F_{ynp}$ сообщает маятнику нормальное ускорение $~a_n$, которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.

Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей $~F_\tau = F \sin \alpha$. В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая $\vec F_\tau$ направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы $\vec F_\tau$ увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.

Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l , а массу маятника - m .

Из рисунка 13.11 видно, что $~F_\tau = F \sin \alpha$, где $\alpha =\frac{S}{l}.$ При малых углах $~(\alpha <10^\circ)$ отклонения маятника $\sin \alpha \approx \alpha,$ поэтому

$F_\tau = -F\frac{S}{l} = -mg\frac{S}{l}.$

Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона $m \vec a = m \vec g + F_{ynp}.$ Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника

$~F_\tau = ma_\tau .$

Из этих уравнений получим

$a_\tau = -\frac{g}{l}S$ - динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде\. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний $~a_x + \omega^2x = 0$ (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.

Обозначим $\frac{g}{l} = \omega^2.$ Откуда $\omega = \sqrt \frac{g}{l}$ - циклическая частота колебаний маятника.

Период колебаний маятника $T = \frac{2 \pi}{\omega}.$ Следовательно,

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$

Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.

Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.

Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением $\vec a$ то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g"} }$

где $~g"$ - "эффективное" ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения $\vec g$ и вектора, противоположного вектору $\vec a$, т.е. его можно рассчитать по формуле

$\vec g" = \vec g + (- \vec a).$

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 374-376.