Прописка и выписка

Функционально графический метод решения уравнений примеры. "Показательная функция

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ (использование свойств монотонности функций при решении уравнений.)

На доске записан эпиграф

Что есть лучшего?

Сравнив прошедшее, свести его

с настоящим.

Козьма Прутков

1 этап: актуализация прошлого опыта.

На предыдущих занятиях элективного курса мы систематизировали наши знания о решении уравнений и пришли к выводу, что уравнения любых видов можно решать общими методами. Какие общие методы решения уравнений мы выделили?

(Замена уравнения h (f (x ))= h (g (x ) уравнением f (x )= g (x ),

разложение на множители, введение новой переменной.)

2 этап: мотивация введения новых уравнений, решение которых связано с применением функционально-графического метода.

На этом занятии мы познакомимся еще с одним методом решения уравнений. Чтобы осознать его необходимость, выполним следующую работу.

Задание. Перед вами ряд уравнений. Сгруппируйте уравнения по методам решения. В таблицу запишите только номера уравнений. Можно поработать самостоятельно, затем сравнить ответы в парах или группах.

Проверка выполнения .

Учащиеся зачитывают ответы.

Среди уравнений вам встретились уравнения, которые вы не можете решить изученными методами. Многие из них решаются графическим методом. Его идея вам знакома. Напомните ее.

(1). Преобразовать уравнение к виду f (x )= g (x ) так, чтобы в левой и правой части уравнения были известные нам функции. 2). В одной системе координат построить графики функций f (x ) и g (x ). 3). Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут приближенные корни уравнения.)

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какое-либо свойство функций (поэтому и говорим не о графическом, а функционально-графическом методе решения уравнений).

Одно из свойств- это свойство монотонности функций. Это свойство применяется при решении уравнений вида

Актуализация опорных знаний учащихся о свойствах монотонности функций

Обращение к эпиграфу урока.

Задание. Вспомним, какие из изученных функций являются монотонными на области определения функции и назовем характер монотонности.

Степенная, у=х r , где

r -дробное

r > 0 , возрастающая

r <0 , убывающая

Корень n -степени из x

Возрастающая

Y=arcsin x

Возрастающая

Y=arccos x

Убывающая

Y=arctg x

Возрастающая

Y=arcctg x

Убывающая

Y = x 2 n +1 , n -натуральное число

Возрастающая

Остальные функции будут монотонными на промежутках области определения функции.

Кроме сведений о монотонности элементарных функций мы используем ряд утверждений для доказательства монотонности функций. (Аналогичные свойства будут формулироваться для убывающих функций.)

Самостоятельная работа с материалом, представленном в печатном виде.

Если функция f возрастает на множестве X , то для любого числа c функция f + c тоже возрастает на X .

Если функция f возрастает на множестве X и c >0, функция cf тоже возрастает на X .

Если функция f возрастает на множестве X , то функция – f убывает на этом множестве.

Если функция f возрастает на множестве X и сохраняет знак на множестве X , то функция 1/ f убывает на этом множестве.

Если функции f и g возрастают на множестве X , то их сумма f + g

Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве X , то их произведение f · g тоже возрастает на этом множестве.

Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве X и n -натуральное число, то функция f n тоже возрастает на X

Если функция f возрастает X , а функция g возрастает на множестве E (f ) функции f , то композиция g ° f этих функций тоже возрастает на X .

Основные свойства композиции функции .

Пусть сложная функция y = f (g (x )), где x € X такова, что функция u = g (x ),

x € X непрерывна и строго возрастает (убывает) на промежутке Х; функция y = f (u ), u € U , U = g (x ) непрерывна и также является монотонной (строго возрастающей или убывающей) на промежутке U . Тогда сложная функция y = f (g (x )), x € X также будет непрерывной и монотонной на X , причем:

Композиция f ° g двух строго возрастающих функций f и g также будет строго возрастающей функцией,

Композиция f ° g двух строго убывающих функций f и g является строго возрастающей функцией,

Композиция f ° g функций f и g , одна из которых (любая) является строго возрастающей, а другая строго убывающей, будет строго убывающей функцией.

Задание.

Определите, какие функции являются монотонными, установите характер монотонности. Поставьте знак плюс около соответствующего номера. Объясните ответ.(по цепочке)

y = √ x +2,

y =8-3 x ,

y = log 2 2 x ,

y =2 √ 5- x ,

y = cos 2 x ,

y = arcsin (x -9),

y =4 x +9 x ,

y =3 √ -2 x +4 ,

y=ln(2 x +5 x ),

10) y = log 0,2 (-4 x -5),

11) y = log 2 (2 - x +5 -2 x ),

12) y = √ 6-4 x - x 2

Воспользуемся свойствами монотонности функций при решении уравнений. Найдите уравнения из того же списка, которые можно решить, воспользовавшись свойствами монотонности функций.

Подведение итогов занятия.

С каким методом решения уравнений познакомились на занятии?

Все ли уравнения можно решать этим методом?

Как «узнать» метод в конкретных уравнениях?

Список уравнений, которые можно предложить на этом занятии.

Часть 1.

Часть 2.

Цель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>0, а1

Задачи урока:

повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;
повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;
находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;
решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.
работа с графиками функций, содержащими модуль;
рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2 Задачи на урок

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>о,а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 3 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .
Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.
Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.
Приведите свои примеры
Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств :

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд4.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)
Какая функция называется показательной? Приведите пример.
Какие основные свойства показательной функции вы знаете?
Область значения (ограниченность)
область определения
монотонность(условие возрастания убывания)
Слайд 5 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

Слайд 6. Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

Слайд 7. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3 x + 2

б) у=3 x-2 – 2

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части класса по типу тестовых заданий из ЗНО с закрытой формой ответа)
1. Какая из показательных функций возрастающая?
2. Найти область определения функции.
3. Найти область значений функции.
4. График функции получается из графика показательной функции параллельным переносом вдоль оси… на.. единиц …
5. По готовому чертежу определите область определения и область значения функции
6. Определите при каком значении а показательная функция проходит через точку.
7. На каком рисунке изображен график показательной функции с основанием больше единицы.
8. Соотнесите график функции с формулой.
9. Графическое решение какого неравенства приведено на рисунке.
10. решите графически неравенство(по готовому чертежу)
Самостоятельная работа(для сильной части класса)

Слайд 8. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

Слайд 9. Соотнесите формулу функции с ее графиком

)

Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю

Слайд 10 . Ответы к тестовым заданиям

1) Г 2) Б 3) В 4) А

5) Г 6) В 7) Б 8) 1-Г 2-А 3-В 4- Б

9) А 10)(2;+)

Слайд 11 (проверка задания 8)

На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений,неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайд 12. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

ЗАДАНИЕ №1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд13.

Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

6 х =1/6

(4/3) х = 4

СЛАЙД 14

5. Выполнение практической работы.

Слайд 15.

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.

Решить уравнение:

3 x = (х-1) 2 + 3

Слайд 16. .Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

ЗАДАНИЕ № 2 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.

Решить неравенство:

Слайд 17.

а) сos x 1 + 3 x

Слайд 1 8. Решение:

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

Слайд19.

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

Ответ: х>2. О

.
Oтвет: х>0.

ЗАДАНИЕ №3 Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Слайд 20.

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде.Объяснить, как построены графики.

Слайд 21.

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения > 1, а – 1 > 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

ЗАДАНИЕ 4.Нахождение области значений сложной функции.

Слайд 22.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

Слайд 23.

, - вершина параболы.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

Цель : рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>0, а1

Задачи урока:

повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

работа с графиками функций, содержащими модуль;

рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Слайд 2-3 Цели и задачи урока.

Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .

Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.

Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

Приведите свои примеры

Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств :

2. Актуализация знаний учащихся.

Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

Какая функция называется показательной? Приведите пример.

Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

Область значения (ограниченность)

область определения

монотонность(условие возрастания убывания)

Слайд 6 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

Слайд 7. Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

Слайд 8. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3 x + 2

б) у=3 x-2 – 2

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части

Самостоятельная работа(для сильной части класса)

Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

Слайд 10. Соотнесите формулу функции с ее графиком

Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю

Слайды 11-21 . Проверка теста для основной части

Слайды 22-23. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд24-25.

Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

СЛАЙД 26

5. Выполнение практической работы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30

Решить уравнение 3 x = (х-1) 2 + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33

Решить неравенство:

а) сos x 1 + 3 x

Решение:

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

Ответ: х>2. О

.
Oтвет: х>0.

Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде.Объяснить, как построены графики.

Е(у)=(0;1]

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения > 1, а – 1 < > 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.

, - вершина параболы.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

При наименьшем значении показателя функции

График иллюстрирует наш вывод.

Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ . Все члены уравнения переносят в левую часть, т.е. уравнение представляют в виде f(x) = 0. После этого строят график функции y = f(x) , где f(x) - левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox и являются корнями уравнения, т.к. в этих точках y = 0 .

Второй способ . Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т.е. представляют его в виде j(x) = g(x). После этого строят графики двух функций y = j(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу x o , ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т.е. j(x о) = g(x o). Из этого равенства следует, что x 0 - корень уравнения.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень x уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке , если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x 3 - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x 1 = -2 ; x 2 = x 3 = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 имеет корень x 1 = x 2 = x 3 = 1).

Аналитический метод отделения корней . Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Если функция f(x) задана аналитически, то областью существования (областью определения) функции называется совокупность всех тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Функция y = f(x) называется возрастающей , если с возрастанием аргумента значение функции увеличивается, и убывающей , если с возрастанием аргумента значение функции уменьшается.

Функция называется монотонной , если она в заданном промежутке либо только возрастает, либо только убывает.

Пусть на отрезке функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак на интервале . Тогда если во всех точках интервала первая производная положительна, т.е. f "(x)>0, то функция f(x) в этом интервале возрастает . Если же во всех точках интервала первая производная отрицательна, т.е. f "(x)<0, то функция в этом интервале убывает .

Пусть на отрезке функция f(x) имеет производную второго порядка, которая сохраняет постоянный знак на всем отрезке. Тогда если f ""(x)>0, то график функции является выпуклым вниз ; если же f ""(x)<0, то график функции является выпуклым вверх .

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими .

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f "(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Пример . Отделить корни уравнения 2 х - 5х - 3 = 0.

Имеем f(x) = 2 x - 5x - 3 . Область определения функции f(x) - вся числовая ось.

Вычислим первую производную f "(x) = 2 x ln(2) - 5 .

Приравниваем эту производную нулю:

2 x ln(2) - 5 = 0 ; 2 x ln(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).

Функционально-графический метод решения неравенства f(x) < g(x). 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. :

Слайд 9 из презентации «Показательные уравнения и неравенства» . Размер архива с презентацией 174 КБ.

Алгебра 11 класс

краткое содержание других презентаций

«Уравнения третьей степени» - (1). Тарталья отказывается. 12 февраля Кардано повторяет свою просьбу. «Великое искусство». Х3 + рх + q = 0. Пример: х3 – 5 х2 + 8 х – 4 = 0 х3 – 2 х2 –3 х2 + 8х – 4 = 0 х2 (х – 2) – (3 х2 – 8х + 4) = 0 3 х2 – 8х + 4 = 0 х = 2 х = 2/3 х2 (х – 2) – (3 (х –2) (х – 2/3)) = 0 х2 (х – 2) – ((х – 2) (3х – 2)) = 0 (х – 2)(х2 – 3х + 2) = 0 х – 2 = 0 х2 – 3х + 2 = 0 х = 2 х = 2 х = 1 Ответ: х = 2; х = 1. Наша формула дает: Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 24». Х3 + ах = b (1). Здесь р = 6 и q = -2. Первый пример:

«Применение определённого интеграла» - Гл. 4. Разработка факультатива по теме «Определенный интеграл». Определенный интеграл. §4. Свойства определенного интеграла. Гл. 2. Различные подходы теории интеграла в учебных пособиях для школьников. §1. Объем тела вращения. §6. Введение. Суммы Дарбу. §3. Механическая работа. Цель: Подходы к построению теории интеграла: Вводные замечания. §2. Методы интегрирования. §3. Заключение. Гл.3. Применение определенного интеграла. §1.

«Показательные уравнения и неравенства» - 2) Равносильно неравенству f(x) < g(x), 0<а<1. "Что значит решить задачу? Обоснование: 12). Сравните основание а с единицей: Если 0