Скачать открытый урок по теме рациональное неравенство. Тема: Рациональные неравенства и их системы

Методическая разработка

урока алгебры в 9 классе (2).

Учитель Р.И.Маслюк

Тема: Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Цели:

Закрепить навыки решения квадратных неравенств

Сформировать умения решать дробно-рациональных неравенства методом интервалов.

Сформировать понятие множества решений; выработать у учащихся культуру оформления геометрической интерпретации к решению неравенств.

Актуализировать знания о методах решения квадратичных неравенств, основанных на наглядно-геометрических интерпретациях;

Выработать умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.

Задачи:

Образовательные : углубленное изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений задач повышенной сложности в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них.

Развивающие : развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно - деятельностной методики и элементов проблемного обучения.

Воспитательные : формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.

Методы проведения:

Лекция с элементами беседы и проблемного обучения;

Лекционно-консультативная деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении задач повышенной сложности;

Самостоятельная работа учащихся;

Выработка культуры оформления решения квадратичных неравенств.

Ключевые компетенции:

Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать решение, представляемое одноклассником, выбирать в решении главное, делать выводы и обобщать.

Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.

Предметные: умение исследовать квадратичную функцию на отрезке, используя знакопостоянство функции на определенном интервале; использовать графо-аналитический метод в решении уравнений и неравенств.

К моменту проведения урока учащиеся должны уметь:

С помощью числовой прямой находить пересечение и объединение числовых множеств

Используя формулу дискриминанта и теорему Виета находить корни квадратного трехчлена

Преобразовывать квадратный трехчлен в произведение линейных множителей

Ход урока

Оргмомент.

Проверка знаний:

1) Проверка домашнего задания №№ 333;334;(сверка ответов с обсуждением моментов,вызвавших затруднения при выполнении домашнего задания)

2) Актуализация опорных знаний .

Устная работа

(слайды) с обсуждением и геометрической интерпретацией на доске:

Да

Нет

Да

Нет

Разложить на множители

Решить неравенство

Найти решение неравенства

Ответы: 1) (х+3) 2 ;2) (-∞;-3) U (-3;+ ∞); 3)(-∞;-1) U (1;+ ∞);4)(0;2);5)(-4;-2)

3. Мотивация применения алгоритма решения

дробно-рациональных неравенств.

Решение дробно-рациональных неравенств

Ответы

а)

(-∞ ;-3)U(5;+∞)

б)

(-∞ ;-4)U(-1; 1)U

в) x

(-2;1]

2) а) x

(-∞;-2)U U (2;+ ∞)

б) x

(-∞;-1]U (0;+1]U (2;+ ∞)

в)

[-4 ;-2)U (1 ;3 ]

3) а)

[-3;-1) U U U(-2 ;1)U U (2 ;+ ∞)

в)

(-∞;-8)U(-1 ;8)U (8 ;+ ∞)

г)

(-∞;-2]U(-1 ;2]U (3 ;+ ∞)

Работа в группах проводится по уровням. Каждая группа защищает свое решение у доски. Остальные группы выступают как оппоненты. Оценки за работу выставляются коллегиально путем голосования.

Обобщение темы

Решение неравенств и систем неравенств методом интервалов.

С кем тебе было интересно работать в паре?

За что бы ты себя похвалил на уроке?

Что тебе понравилось на уроке больше всего?

Кого бы хотели поблагодарить за урок?

Домашнее заданиеГлава III ,пункт 6

I уровень- №№334(а, в),339(а)

II уровень- №№335,339(б)

III уровень- №№ 336, 339,379

Открытый урок в 9-а классе.

Тема: «Решение рациональных неравенств методом интервалов».

Цель: научить решать неравенства методом интервалов; отработать понятия “особых” случаев и учитывать их при решении неравенств.

Задачи:

повторить алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов;

ввести понятие особых случаев, которые влияют на знак интервала;

рассмотреть случаи, когда линейный множитель стоит в четной степени;

рассмотреть случаи с выражением, которое можно сократить;

научиться алгоритм решения неравенств с учетом «особых» случаев;

готовить учащихся к лекционным формам занятий, приучая их воспринимать информацию крупными блоками; развивать логическое мышление, самостоятельность, самоконтроль; формирование умственных операций (анализ, синтез, выделение главного).

Тип урока: урок закрепление знаний.

Форма: лекция-беседа.

Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие, проверка готовности к уроку.

II. Актуализация знаний учащихся.

Устный счет проводиться с целью повторения изученного материала и подготовки учащихся к восприятию нового материала.

Проверка пройденного материала :

Слайд 2. В чем заключается метод интервалов?

Слайд 3. Назовите числа, при которых числитель и знаменатель будут равны нулю

Слайд 4, 5. Назовите выколотые и закрашенные точки.

Слайд 6. Решить неравенство: (х 2 -16)(х-3) < 0

Слайд 7. Решить неравенство: ≥ 0

:

Слайд 8. Решить неравенство: < 0

Дети должны увидеть, что не произошло смены знака

II I . Изучение нового материала.

Учитель : Итак, оказывается не всегда происходит смена знака при решении неравенств методом интервалов. Попробуем разобраться в данной проблеме.

Слайд 9. Рассмотрим график функции.

Вопрос: «Когда происходит смена знака функции?»

Ответ : при переходе функции через нуль.

Слайд 10. Обращаем внимание: х=0 не является нулем функции, но при переходе через нуль знак функции меняется.

Вывод: Это говорит о том, что те точки , которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

Слайд 11. Хотя точка x = 0 является нулем функции, но функция при переходе через нуль знак не меняет .

Вывод: Данная функция относится к категории особых случаев и, так как четная степень функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет.

Слайд 12. Рассматриваются примеры, которые позволяют сделать выводы относительно выражений, которые не влияют на знак неравенства, но существенно влияют на решение неравенства:

(х-2) 2 > 0 (х-2) 2 ≥ 0 (х-2) 2 < 0

Ответы: х0хR нет решения

В ходе обсуждения нужно подвести учащихся к выводу:

выражение, стоящее в четной степени, не влияет на знак неравенства, но влияет на решение и отбрасывать его без дополнительных ограничений нельзя.

Слайд 13. Возвратимся к нашему «проблемному» неравенству: < 0

Мы понимаем, что здесь есть множитель в четной степени и знаки не чередуются… (Выслушать предположения детей)

Вопрос: удобно ли проверять знаки в каждом из образованных промежутков?

Что если у нас появится неравенство (х-)(х-) < 0 ?

Давайте попробуем увидеть закономерность и сделаем выводы.

Слайд 14. Решить неравенство: (х+5) 6 (х+2) 3 х(х-1) 2 (х-3) 5 ≥ 0

При решении этого неравенства необходимо ввести алгоритм и сформировать представления о применении алгоритма:

Попросить найти нули функции;

Дать определение корней многочлена и их кратности;

Нанести их на числовую прямую;

Попросить определить знаки в каждом промежутке;

Попросить заштриховать сначала те промежутки, где « >0» а затем, где «=0»

Выписать ответ;

Рассмотреть и обсудить, как произошла смена знаков.

Слайд 15. Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:

- для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом

- при четном k 0 имеет один и тот же знак

(знак многочлена не меняется).

- при нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется).

Слайд 16. Используя, полученные выводы решите неравенство:

(х-3) 4 (х+2) 5 (х-7) 2 (х-10) < 0

Слайд 17. Решить неравенства: ≤ 0 и ≤ 0

Слайд 18. Найдите ошибки:

Использование проблемного момента :

Слайд 19. Решить неравенство: < 0

Предлагаю это задание обсудить «в парах» и заслушать варианты ответов.

Делаем вывод, что выражение (х+2) также не влияет на знак неравенства, но не учитывать его нельзя, иначе решение будет неверным.

Очевидно, что х -2 (на ноль делить нельзя). Можно ли сократить?

Напомнить о том, что те точки, которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

Подвести учащихся к выводу, что выражение, которое можно сократить – это тоже особый случай.

Слайд 20. Вывод: Нельзя домножать на знаменатель, содержащий неизвестное и сокращать на одинаковые множители.

Слайд 21. Решить неравенства: > 0 и ≥ 0

Вопрос: Как изменится ответ?

Слайд 22. Общий вывод по определению знаков на промежутках.

IV. Отработка навыков и умений

Слайд 23-24. Примеры для самостоятельного решения (с последующей проверкой на слайдах)

Слайд 25. Примеры для самостоятельного решения в классе (с последующей проверкой у доски) или, в случае нехватки времени, в качестве домашнего задания.

V. Подведение итогов урока .

№ урока: 16 Дата проведения:_________

Тема урока: «Системы рациональных неравенств».

Цели урока:

образовательные: способствовать развитию навыков решения систем неравенств; учить находить общее решение системы неравенств; научить решать систему, содержащую квадратные неравенства; повторить метод интервалов;

развивающие: учить выражать мысли в устной речи, делать выводы, подводить итог, формировать навыки самоконтроля;

воспитательные: учить слушать и принимать точку зрения других, воспитывать чувство патриотизма, прививать любовь к предмету.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

Организационный момент:

приветствие;

проверка готовности учащихся к уроку;

объявление темы и формулировка целей урока;

проверка домашнего задания.

Проверить устно домашнее задание. Разобрать задания, которые вызвали у учащихся затруднения.

II. Выполнение упражнений.

1. Вспомнить формулу разложения квадратного трехчлена на множители.

2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении квадратных неравенств.

3. Решить № 4.9 (г). Решение объясняет учитель.

1) Решим неравенство 3х – 10 5х – 5; 3х – 5х – 5 + 10; – 2х 5;
х

2) Решим неравенство х 2 + 5х + 6 х 2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х 1 = – 3;
х 2 = – 2; тогда (х + 3)(х + 2)

Имеем – 3 х

3) Найдем решение системы неравенств

О т в е т: – 3 х

4. Решить № 4.9 (в) самостоятельно с проверкой.

О т в е т: нет решений.

5. Решить № 4.10 (г). Объясняет учитель. Предварительно повторить теорему о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом.

г)

1) Решим неравенство – 2х 2 + 3х – 2 х 2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 х .

2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х х ; – 18х + 3 – 2х х ; – 20х – х х х Решение данной системы неравенств х

О т в е т: х

6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях.

в)

Решим неравенство 5х 2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х 2 –2х + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16

По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений.

О т в е т: нет решений.

7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение.

в)

1) Решим неравенство 2х 2 + 5х + 10 0. 2х 2 + 5х + 10 = 0; D = –55

По теореме неравенство верно при всех значениях х .

2) Решим неравенство х 2 ≥ 16; х 2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4;
х = – 4.

Решение х ≤ –4 и х ≥ 4.

3) Решение системы неравенств

О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4.

8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6.

О т в е т: –2; 6.

9. Повторение ранее изученного материала.

1) Решить № 4.11 (а; б) на с. 12 устно.

2) Решить № 4.12 (б), построив графики функций (с. 12).

б)

Строим графики функций
и y = –1 – x .

О т в е т: –2.

III. Итоги урока.

1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств.

2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.

3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы.

Домашнее задание: решить №№: 4.9 (а; б), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.32 (а).

Конспект урока алгебры в 9 классе по теме «Решение рациональных неравенств» (УМК С.М. Никольского).

Составила Карачун В.В., учитель математики и информатики МБОУ Кутуликская СОШ

Тип урока : « Открытие» нового знания.

Цели:

Предметные : ввести понятие рационального неравенства с одной переменной; создать условия для формирования представлений об алгоритме решения рациональных неравенств; научить применять метод интервалов к решению рациональных неравенств; способствовать развитию математической речи; воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, работе в группах, индивидуальной работе.

Коммуникативные : уметь договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

Регулятивные: различать способ и результат действия, оценивать правильность выполнения действия, умение учиться и способность к организации своей деятельности; создать условия для развития умения анализировать, обобщать изучаемые факты, рефлексии способов и условий действия.

Познавательные : осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы; владеть общим приемом решения рациональных неравенств,

Личностные : формирование познавательного интереса.

Средства, обеспечивающие учебный процесс на уроке: компьютер, проектор, презентация, карточки с заданиями для групп.

План урока:

1. Организационный момент: приветствие, проверка готовности.

3. Целеполагание.

4. «Открытие» нового знания.

Физминутка (проводит учащийся класса).

5. Фиксация нового алгоритма действия (работа по группам).

6. Самостоятельная работа.

7. Итоги урока. (Рефлексия деятельности).

8. Домашняя работа.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащегося			УУД
1. Организационный момент. Цель этапа: включение учащихся в деятельность.
Здравствуйте, ребята! Садитесь. Древняя китайская мудрость гласит: «Я слышу - я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - я понимаю». И сегодня я вас призываю следовать этой мудрости. «Я слышу - я вижу - я делаю» Слайд 1.	Приветствуют учителя, подготавливаются к уроку.			Мобилизация внимания, уважение к окружающим (Л)
2. Актуализация знаний учащихся. Создание проблемной ситуации. Цель этапа: Сформировать интерес к процессу учебной деятельности путем создания ситуации «интеллектуального конфликта»
Решить неравенства: 1.(х-1)(х-2)(х-3)>0 2.(х-1)³(х-2)²(х-4)˂0 4. ˂0	Учащиеся решают неравенства №1 и№2. Возникают сложности с решением 3 и 4 неравенств.				Самоопределение, учебная мотивация (Л) Умеют выполнять учебное задание; фиксируют индивидуальное затруднение в пробном учебном действии (Р) Принимают и решают учебные и познавательные задачи (П) Четко выражают свои мысли (К)
3. Целеполагание. Цель этапа: Формулирование темы урока; постановка учебной задачи.
Как вы думаете, называются неравенства №3 и №4? Сформулируйте тему урока. Слайд 2. Чем будем заниматься на уроке?	Данные неравенства называются рациональными. Решение рациональных неравенств. Учиться решать рациональные неравенства.						Определяют и формулируют цель деятельности (Р) Обобщают знания и делают выводы (П) Планирование учебного сотрудничества (К)
4. «Открытие» нового знания. Цель этапа: обеспечение восприятия, осмысления и первичного закрепления учащимися новой темы.
Слайд 3: Определение рационального неравенства с одной неизвестной. Слайд 4: Примеры рациональных неравенств. Слайд 5: Что значит решить неравенство? Слайд 6: Обоснование равносильности неравенств > 0 и А(х)В(х)>0 Ребята, я предлагаю вам выполнить проект «Решение рациональных неравенств. Пособие для учащихся 9-ых классов». Класс разделен на 5 групп по 4 человека. Каждой группе предложена карточка с заданиями: Решить типовой пример №1-№5 стр.46-48 (каждой группе по одному; приложение 1) Определить вид данного неравенства. Записать алгоритм решения неравенства. Выбрать и решить «похожее» неравенство для домашней работы. Выбрать «похожее» неравенство для самостоятельной работы в двух вариантах.	Приводят «свои» примеры рациональных неравенств . Ребята работают с текстом учебника (п.3.2) и дидактическими материалами по алгебре для 9 класса (М.К. Потапов, А.В. Шевкин). Обязанности в группах распределены: решение типового рационального неравенства всеми учащимися группы; объяснение решения неравенства у доски; создание алгоритма решения неравенства; подбор неравенства для домашней работы; формулирование заданий для самостоятельной работы.					Самоопределение (Л) Анализ объектов с целью выделения признаков; подведение под понятие; целеполагание (П) Выполнение пробного учебного действия; фиксирование индивидуального затруднения; саморегуляция в ситуации затруднения (Р) Выражение своих мыслей; аргументация своего мнения; учёт разных мнений (К)
Фиксация нового алгоритма действия. Цель этапа : Создание нового образовательного продукта: алгоритма решения рациональных неравенств .
Защита проекта. Акцентирует внимание учащихся на грамотное оформление решений рациональных неравенств. Отвечает на возникающие вопросы.	Работают все учащиеся группы в соответствии с распределением обязанностей: 1-й учащийся транслирует решение на экран и объясняет его решение; 2-й учащийся записывает алгоритм решения неравенства; 3-й учащийся записывает домашнюю работу; 4-й учащийся записывает задания для самостоятельной работы с обратной стороны доски. Остальные учащиеся записывают решения предложенных неравенств в тетрадь, задают вопросы.							Доброжелательность, трудолюбие, аккуратность (Л) Работа по алгоритму, овладение приемами контроля и самоконтроля усвоения изученного (Р) Применение новых знаний на практике (П) Осуществление взаимоконтроля и взаимопомощи (К)
Вывод работы групп. Слайд 7. Алгоритм решения рациональных неравенств. ( А(х)В(х)>0 >0 >0
Самостоятельная работа. Цель этапа : проверить качество усвоения изученного материала.
С обратной стороны доски записана самостоятельная работа в двух вариантах I вариант II вариант 2.

Учитель математики, СОШ № 23, г. Астрахань

Новакова С.А.

ТЕМА УРОКА: РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

9 класс

Цель урока: закрепить и углубить знания учащихся в процессе решения различных упражнений по заданной теме; содействовать развитию взаимовыручки и взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию.

Задачи урока :

1. закрепить умение решать рациональные неравенства методом интервалов; рассмотреть различного уровня сложности рациональные неравенства; проверить умение учащихся решать рациональные неравенства;
2. создать условия для развития умений и навыков применять знания в новых ситуациях; для развития качеств мышления: гибкости, целенаправленности, рациональности, критичности с учетом индивидуальных особенностей.

Тип урока : обобщающий урок; закрепления и совершенствования знаний и умений.

Формы организации деятельности на уроке:

1. фронтальная
2. индивидуальная
3. коллективная

Структура урока:

1. организационный момент;
2. мотивационная беседа;
3. актуализация знаний;
4. индивидуальная или коллективная работа с заданиями;
5. подведение итогов.

Методы:

1. словесные;
2. наглядные;
3. практические.

Оборудование:

1. компьютеры;
2. мультимедийный проектор;
3. персональные карточки.

Прогнозируемый результат: закрепление умений и навыков решения рациональных неравенств; формирование умения планировать свою работу; достижение каждым учащимся того уровня умений и навыков, который ему необходим:

I уровень - решать простейшие рациональные неравенства; решать неравенства по заданному алгоритму;

II уровень - решать рациональные неравенства, самостоятельно выбирая метод решения;

III уровень - применять полученные знания в нестандартной ситуации.

ХОД УРОКА.

1. Организация. Постановка задач.
2. Актуализация опорных знаний. Устные упражнения. (Слайд 2-4)

1) Равносильны ли следующие неравенства?

а) и (нет)

б) и (да)

2) Определите метод решения уравнения:

3) Определите ход решения неравенства:

б) ﴾2х 2 +11х+6)﴾2х 2 +11х+13)

1. Повторить алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов: (Слайд 5)

1. В каждом множителе коэффициент при старшей степени переменной должен быть положительный, для этого надо вынести минус из всех множителей, в которых коэффициент при старшей степени отрицательный, и если перед выражением все же остался знак минус, то надо все неравенство умножить на (-1).

Получим корни числителя и точки разрыва знаменателя .

1. На числовой прямой отложим все полученные значения и проведем кривую знаков.

1. Решение заданий. (Слайд 6, 7)

1. Решите неравенство .

Ответ:

2. Решите неравенство .
Ответ:

3. Найдите разность между целыми наибольшим и наименьшим решениями неравенства

Ответ: 4.

4. Решите неравенство .
Ответ:

5. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства

Ответ: -42.

6. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

7. Сколько простых чисел являются решениями неравенства ?

Ответ: 1.

1. Персональные карточки для проверочных работ.

Карточка № 1.

1. Решить неравенство:

≤ .

а) [-4; -2) ∪ (0;5],

б) (–1, 0] ∪ ,

г) нет решений.

2. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > 1.

а) х ∈ (- ∞ ; -3,5),

Б) –3,

в) –4,

г) нет решений.

Карточка № 2.

1. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > -.

а)5,

б) –3,

в) 4,

г)нет решений.

2. Решить неравенство:

а) (-9; -5) ∪ (0; 8),

Б) (–8, -7) ∪ (1;3),

В) (- ∞ ; -7) ∪ (1; 3),

Г) нет решений.

Карточка № 3.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3) ∪ (0; 3,

Б) (–3, 0) ∪ (0; ∞ ),

В) (5; 7),

Г) нет решений.

2. Найти целочисленные решения неравенств:

а) 0, 1, 2,

Б) 4, 5,

В) 7,

Г)нет решений.

Карточка № 4.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3/25) ∪ (0; ∞ ),

б) (–12, 0) ∪ (7;9),

В) (- ∞ ;) ∪ (; 5),

Г) нет решений.

2. Найти сумму целых решений неравенства

а) 2,

б) 4,

в) 0,

г) 1,

д) 3.

1. Подведение итогов.

В ходе урока учащиеся закрепили умение решать рациональные неравенства, рассмотрели решение рациональных неравенств различного уровня сложности. Учащиеся на практике показали умение применять метод интервалов при решении рациональных неравенств. Особое внимание следует уделить решению нестрогих рациональных неравенств.

1. Домашнее задание. (Слайд 8)

1. Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства

2. Решите неравенство .
3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства

.

1. Список используемой литературы :

1. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. учрежденпий./ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255 с.
2. Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ Беленкова Е.Ю., Лебединцева Е.А. – М.: Интеллект – центр, 2003. – 176 с.
3. «Малое ЕГЭ» по математике: 9 класс: Подготовка учащихся к итоговой аттестации / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. – М.: Эксмо, 2008. – 192 с.